Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP
Auteur : J.-F. Scheid
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Table des matières
1 Equations elliptiques
1.1 Introduction
1.2 Quelques rappels sur les solutions d’équations elliptiques linéaires
1.2.1 Existence, unicité et régularité des solutions
1.2.2 Principes du maximum
1.3 Volumes Finis pour les problèmes elliptiques 1D
1.3.1 Maillage
1.3.2 Formulation en Volumes Finis
1.3.3 Système linéaire
1.3.4 Convergence
1.3.5 Equation elliptique 1D à coefficients discontinus
1.4 Volumes Finis pour les problèmes elliptiques 2D
1.4.1 Maillage
1.4.2 Formulation en Volumes Finis
1.4.3 Exemples de maillages admissibles
1.4.4 Système linéaire
1.4.5 Estimations d’erreurs
1.4.6 Equation elliptique 2D avec coefficients discontinus
2 Equations paraboliques
2.1 Introduction
2.1.1 Existence et unicité des solutions
2.1.2 Principes du maximum
2.2 Volumes Finis pour l’équation de la chaleur en dimension 1 d’espace
2.2.1 Schéma d’Euler explicite
2.2.2 Schéma d’Euler implicite
2.3 Equation de la chaleur en 2D d’espace et Volumes Finis .
2.3.1 Discrétisation en espace
2.3.2 Schéma explicite en temps
2.3.3 Schéma implicite en temps
3 Equation de transport
3.1 Introduction
3.2 Maillage
3.3 Formulation en Volumes Finis
3.4 Système linéaire
3.5 Condition de stabilité
4 Equations de Stokes
4.1 Introduction
4.2 Maillages
4.3 Formulation en Volumes Finis .
4.3.1 Approximation de la divergence
4.3.2 Approximation de l’équation de Stokes
5 Equations de Navier-Stokes incompressibles
5.1 Introduction
5.2 Semi-discrétisation en temps
5.3 Formulations en Volumes Finis
Appendices
A Modélisation des équations de Navier-Stokes et équations de Stokes
A.1 Introduction
A.2 Conservation de la masse
A.3 Loi fondamentale de la dynamique - loi de comportement
A.4 Conservation du volume
A.5 Adimensionalisation des équations de Navier-Stokes
A.6 Réductions des équations
B Eléments d’analyse matricielle.
B.1 Matrice réductible
B.2 Matrice à diagonale dominante
B.3 Matrice monotone
B.4 Localisation des valeurs propres
C Quelques inégalités.
C.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz
C.2 Inégalité de Young
C.3 Inégalité de Gronwall
C.4 Inégalité de Gronwall discrète
Références
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