Théorie des distributions et anslyse de Fourier
Auteur : Jean-Michel Bony
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TABLE DES MATIÈRES
Introduction
1. L'intégrale de Lebesgue
1.1. Int.égrale des fonctions positives
1.2. Fonctions sOll11l1ables
1.3. Cas de la dirllellsion
1.4. Intégrales nutltiple s
1.5. Espaces
1.6. Sur la construction de l'intégrale
1.7. Les quatre opérations
2. Topologie générale et espaces fonctionnels
2.1. Espaces lllétriques (propriétés topologiques)
2.2. Espaces lllétriques (propriét.és unifonnes)
2.3. Espaces 11létrîques cOlupaets
A. Généralités
B. Exenlples et. applications
C. Partitions de l'unité
2.4. Espaces vectoriels IlOl'lllés
2.5. Espaces de Hilbert
2.6. Espa,ces fonctionnels classiques
2.7. Séries de Fourier
3. Fonctions différentiables et approximation
3.1. Espaces de fonctions différentiables
3.2. Pm'titîons de l'unité Ccc
3.3. Oonvolution
3.4. Régularisation
3.5. Approximation dans un ouvert
4. Les distributions
4.1. Introduction
4.2. Définition et convergence
~1.3. Dérivées
4.4. Exelnples de distributions
A. Fonctions localmuent sOl1ullables
B. Ivlesures de Radon
O. Multipôles) couches rIlultiples
D. Valeurs principales et parties finies
5. Opérations sur les distributions
5.1. Opérations élélnentaires
5.2. IVluHiplicatioll par les fonctions Coo
5.3. Dérivation (dimension 1)
5.4. Dérivation (dîrnellsion quelconque)
A. FOrInule de Stokes (cas d\ln sllrgraphe)
B. Fonnule de Stokes (cas (PUll ouvert régulier)
C. Formule des sauts dans l'espace
D. Applications
6. Espaces particuliers de distributions
6.1. Distributions à support cOlnpact
6.2. Espaces de Sobolev d'ordre entier
A. Notions de régularité
B. Définition et propriétés
O. Applications
6.3. Distributions pél'iodiques
7. Convolution
7.1. Prélhllinaires
7.2. Convolution d'une distribution et d'une fonction C
7.3. Convolution et. translations
A. Propriété caraetéristique de la eOl1volution
B. Interprét.ation physique
7.4. Convolution des distributions
7.:j. NIode creulploi
A. Conditions de Définition
B. Propriétés fondaulentales
C. :Nlodes de calcul
8. Quelques équations de la physique mathématique
8.1. Généralités sur les équa,tions de convolution
8.2. Équations de Laplace et de Poisson
8.3. Équat.ion des ondes
8.4. Équations différent.ielles et intégTales
9. Transformation de Fourier
9.1. TI:allsformatioll de Fourier des fonctions sOllul1a.bles
9.2. L'espace S de Schwartz
9.3. L'espace S' des distributions teillpérées
9.4. TrallSfol"Illat.ion de Fourier des dist.ributions teIllpérées
A. Résultats généraux
B. TransfoI'nléttion de Fourier dans
C. Transfonuation de Fourier dans L2
9.5. Les propriétés fondanlClltales
A. L'échange de la convolution et. de la Inultiplicat.ion
B. Équations de cOllvolution .
9.6. Transforlnation de Fourier partielle et équations d'évolution
9.7. Vers l'analyse l1üeroloeale
9.8. Transfonllation de Laplace
10. Espaces de Sobolev
10.1. Structure hilbertienne et dualité
10.2. Hégularité et. céU'actère local
10.3. Traces et prolongelnellts
A. Trace d1une fonction définie dans If[H
B. L'espace Ifl
1004. Problèlne Dirichlet dans un ouvert régulier
A. 'l'races
B. ProblènlC de Dirichlet; hOlllogène
C. ProblènlC de Dirichlet non hOIllogène
D. Vers Panalyse spectrale
10.5. Problèlue de Cauchy et senü-groupes
A. Compléments de calcul différentie
A.1. Applications différentiables
A.2. Hypersurfaces
A.3. Intégrale de surface
A.4. Cartes et sous-variétés
B. Espaces de Baire
B.l. Hésultats fondaIuentaux
B.2. Quelques applications
C. Espaces de Fréchet
C.l. Espaces localen18nt convexe Illétrisables
C.2. Exeluples cl 'espaces de Fréchet
C.3. Le théorèule de Banach-Steinhaus
C.4. Continuité des applications bilinéaires
Bibliographie
Index
Index des notations
Principaux espaces fonctionnels
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