Éléments de Traitement du Signal
Auteur : G.Baudoin, J.-F.Bercher
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Table des matières
I Table des matières
I Transformée de Fourier et tutti quanti
1 Premières définitions autour de la transformée de Fourier
2 Principales propriétés de la transformée de FOURIER
3 Impulsion de DIRAC
3.1 Applications et conséquences
3.1.1 Transformée de FOURIER d’une impulsion retardée
3.1.2 Transformée de FOURIER d’un signal continu
3.1.3 Transformée de FOURIER d’une exponentielle complexe
3.1.4 Transformée de FOURIER des fonctions trigonométriques .
3.1.5 Transformée de FOURIER de la fonction Signe .
3.1.6 Transformée de FOURIER de l’échelon unité .
3.2 Relation entre série et transformée de FOURIER .
3.3 Relations d’incertitude pour les signaux d’énergie finie .
4 Convolution .
4.1 Filtres et convolution .
4.2 Causalité et stabilité .
4.3 Interprétation graphique de la convolution .
4.4 Réponse en fréquence .
4.4.1 Conséquences .
5 Fonctions de corrélation .
5.1 Définitions et propriétés .
5.1.1 Définitions .
5.1.2 Propriétés .
5.2 Densités spectrale d’énergie et de puissance .
5.3 Relation corrélation-convolution .
5.4 Filtrage .
Exercices et problèmes
II Échantillonnage et quantification
1 Échantillonnage .
1.1 Première démonstration du théorème de Shannon .
1.2 Seconde démonstration du théorème de Shannon .
1.3 Rappel sur le lemme de Poisson .
2 Quantification .
2.1 Définition de la quantification .
2.2 Quantification Uniforme .
2.3 Caractéristique de quantification .
2.4 Caractéristique de l’erreur de quantification, cas de la quantification uniforme .
2.5 Dynamique d’un quantificateur uniforme N bits .
2.6 Quantification Non-Uniforme, quantification logarithmique .
2.6.1 Loi de compression expansion .
2.6.2 Approximations par segments des lois de compression A et μ .
Exercices et problèmes .
III Transformée de Fourier discrète : TFD et TFR
1 Transformée de Fourier Discrète : TFD .
1.1 Définition de la TFD .
1.2 Inversion de la TFD .
1.3 Lien entre la transformée de Fourier et la TFD .
1.4 Comparaison entre la transformée de Fourier et la TFD .
1.5 Fenêtres de pondération .
1.5.1 Fenêtres rectangulaires, triangulaires et paraboliques.
1.5.2 Fenêtres Fenêtres détruisant par addition algébrique, les lobes secondaires de
la fenêtre rectangulaire .
1.5.3 Autres fenêtres : Gauss, Kaiser, Dolph-Chebychev .
1.6 Problèmes de visualisation de la TFD .
1.7 Propriétés de la TFD et convolution circulaire .
1.7.1 Théorème de Parseval .
1.7.2 Théorème de la convolution discrète .
1.7.3 Théorème du retard circulaire .
2 Transformée de Fourier Rapide TFR, Fast Fourier transform FFT
2.1 FFT avec entrelacement temporel
2.2 FFT avec entrelacement fréquentiel .
2.3 Bit reversal .
2.4 Formulation matricielle de l’algorithme de Cooley-Tukey .
2.5 Autres algorithmes de FFT .
2.6 Utilisation de la FFT pour la convolution rapide .
2.7 Calcul de convolution par section d’une des suites
Exercices et problèmes .
IV Signaux aléatoires
1 Description d’un signal aléatoire .
1.1 Description complète .
1.2 Description partielle .
1.2.1 Description à un instant .
1.2.2 Description à deux instants .
2 Propriétés fondamentales .
2.1 Stationnarité .
2.2 Ergodisme .
2.3 Le syndrome gaussien .
2.4 Signaux aléatoires à temps discret .
3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie .
3.1 Analyse dans le domaine temporel
3.1.1 Définitions et propriétés .
3.1.2 Notion de bruit blanc
3.2 Transformation des fonctions aléatoires par filtrage .
3.2.1 Rappel .
3.2.2 Transformation de la moyenne .
3.2.3 Théorème, ou formule des interférences .
3.3 Analyse dans le domaine fréquentiel .
3.4 La représentation de Cramér .
3.5 Bruit blanc à temps discret .
4 Un exemple d’application : le filtrage adapté .
4.1 Contexte .
4.2 Maximisation du rapport signal-à-bruit .
4.3 Approche probabiliste .
4.4 Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires .
Exercices et problèmes
V Introduction au filtrage numérique
1 Systèmes linéaires discrets invariants en temps.
1.1 Définition .
1.1.1 Linéarité .
1.1.2 Invariance en temps .
1.2 Réponse impulsionnelle .
1.3 Relation entrée-sortie, convolution discrète .
1.4 Réponse en fréquence .
1.5 Réponse à une entrée fréquence pure .
1.5.1 Relation entre les transformées de Fourier de l’entrée et de la sortie .
1.6 Fonction de transfert en z .
1.6.1 Définition
1.6.2 Relation entre les transformées en z de l’entrée et de la sortie d’un filtre.
2 Quelques rappels sur la transformée en z
2.1 Domaine de convergence .
2.2 Linéarité .
2.3 Théorème du retard .
2.4 Théorème de la convolution .
2.5 Théorème de Parseval .
2.6 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale .
2.7 Intégration et dérivation .
2.8 Inversion de la transformée en z .
3 Fonctions de transfert rationnelles en z, FIR, IIR
3.1 Calcul de la réponse impulsionnelle d’un filtre RII .
3.1.1 Rappel sur le théorème des résidus
4 Causalité et stabilité .
4.1 Causalité .
4.2 Stabilité .
4.2.1 1ere ` condition nécessaire et suffisante de stabilité
4.2.2 2eme ` condition nécessaire et suffisante de stabilité .
4.2.3 Stabilité des FIR
5 Etude des filtres numériques élémentaires .
5.1 Introduction
5.2 Etude des zéros de transmission
5.2.1 Cas d’une cellule d’ordre 1 .
5.2.2 Cas d’une cellule d’ordre deux .
5.3 Cellule FIR d’ordre un
5.3.1 Généralités
5.3.2 Exemple .
5.3.3 Cellules spéciales .
5.4 Cellule FIR d’ordre 2 .
5.4.1 Généralités .
5.4.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence .
5.4.3 inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) .
5.4.4 Exemple .
5.4.5 Changement du signe du coefficient b1, changement de z en -z .
5.5 Cellule IIR d’ordre 1 .
5.5.1 Généralités
5.5.2 Exemple
5.6 Cellule IIR d’ordre 2
5.6.1 Généralités . .
5.6.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence
5.6.3 Inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) .
5.6.4 Exemple .
5.6.5 Changement du signe du coefficient a1, changement de z en -z .
6 Structures des filtres numériques . .
6.1 Structures directes .
6.2 Structures directes non canoniques .
6.3 structures directes canoniques DN et ND .
6.4 Structures décomposées .
6.4.1 Structures cascade
6.4.2 Structures parallèles
Exercices et problèmes
Index
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