Méthodes des éléments finis
Master Modélisation et Calcul Scientique. Année 2016/2017
Auteur : Mohamed ADDAM
Livre gratuit sous forme pdf
Table des matières
1 Analyse fonctionnelle et Espace de Hilbert
1.1 Espaces vectoriels normés
1.1.1 Définitions et notations .
1.1.2 Exemples d’espaces vectoriels normés .
1.1.3 Espaces de Banach .
1.1.4 Espaces L p (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) .
1.1.5 Espace des fonctions .
1.2 Dual d’un espace vectoriel normé .
1.2.1 Dual de E .
1.2.2 Bidual de E .
1.3 Espace de Hilbert .
1.3.1 Définitions et Propriétés élémentaires d’un espace de Hilbert .
1.3.2 Le dual d’un espace de Hilbert .
1.3.3 Théorème de Lax-Milgram .
1.4 Somme Hilbertienne. Base Hilbertienne .
1.5 Exemples d’espaces de Hilbert : espaces de Sobolev .
1.5.1 Espaces L 2 (Ω,dx) .
1.5.2 Espace de Sobolev W 2,1 (Ω) = H 1 (Ω)
1.5.3 Espace de Sobolev W 2,m (Ω) = H m (Ω)
1.5.4 Espace W(Ω) = H 1 0 (Ω)
2 Intoduction aux équations aux dérivées partielles
2.1 Démarche de la modélisation numérique
2.1.1 Généralités
2.1.2 Modèle Physique
2.1.3 Modèle Mathématique : équation stationnaire de la chaleur
2.1.4 Modèle numérique
2.2 Classification des équations aux dérivées partielles
2.3 Classification des conditions aux limites
2.4 Équations stationnaires
2.4.1 Équations stationnaires 1D
2.4.2 Exemples d’équations aux dérivées partielles de type stationnaire : problèmes aux limites 1
2.4.3 Équation elliptique multidimensionnelle
2.5 Équations non stationnaires ou évolutionnaires
2.5.1 Équation de diffusion 1D
2.5.2 Résolution Analytique de l’équation de diffusion
2.5.3 Résolution Analytique du modèle de la barre infinie
2.5.4 Profil d’énergie de l’équation de la chaleur
2.6 Équations des ondes
2.6.1 Petite histoire sur les équations aux dérivées partielles
2.6.2 Équation des cordes vibrantes : 1D
2.6.3 Profil d’énergie d’une corde vibrante
2.6.4 L’équation des ondes : 2D
2.6.5 Résolution analytique de l’équation :
2.7 Remarques sur les modèles mathématiques : Notion de problème bien posé
2.8 Équations aux dérivées partielles et leurs applications
3 Formulation variationnelle abstraite et Solution faible
3.1 Formulation variationnelle
3.1.1 Exemple 1D
3.1.2 Problèmes aux limites de type stationnaire
3.1.3 Exemple 2D
3.1.4 Formulation générale
3.2 Existence et unicité de la solution
3.2.1 Continuité
3.2.2 Théorème de Lax-Milgram
3.2.3 Exemple de problème variationnel 1D
3.3 Condition inf-sup de Banach-Neca-Babuska
3.3.1 Le problème modèle 1D
3.4 EDP elliptiques d’ordre 2
4 Méthodes de Galerkin et Ritz pour la résolution des EDPs.
4.1 Principes généraux
4.1.1 Point de vue discret : Condition inf-sup
4.1.2 Interprétation de u h
4.2 Approximation selon la méthode de Ritz
4.3 Exemples d’applications
4.3.1 Exemple d’application en 1D : conditions de Dirichlet-Neumann
4.3.2 Exemple d’application en 1D : conditions de Robin
4.3.3 Exemple d’application en 2D
5 Méthode des éléments finis et Approximation polynomiale.
5.1 Introduction et définitions
5.2 Unisolvance : Ensembles unisolvants, interpolation
5.3 Approximation interne générale
5.4 Elément fini de Lagrange .
5.5 Interpolation par éléments finis
5.5.1 Interpolation en une dimension d’espace
5.5.2 Maillage en 1D .
5.5.3 Elément fini P 1 : Exemple introductif .
5.6 Eléments finis en dimension 1
5.6.1 EDP et formulation variationnelle
5.6.2 Espace d’approximation et solution approchée
5.6.3 Problème de Dirichlet (5.7) dans la pratique
6 Estimation d’erreurs et Estimateurs d’erreurs.
6.1 Erreur absolue et Lemme de Céa
6.2 Méthode de Galerkin et Méthode des éléments finis
6.2.1 Méthode de Galerkin
6.2.2 Méthode des éléments finis
6.3 Convergence et estimation d’erreur
Aucun commentaire:
Enregistrer un commentaire