Analyse Harmonique et Distributions

Analyse Harmonique et Distributions

Auteur : Philippe Barbe et Michel Ledoux

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Table des matieres

1 Preliminaires 

1.1 Espaces fonctionnels 

1.2 Th ́eor`emes d’int ́egration 

1.3 Fonctions d’une variable complexe 

1.3.1 Topologie de C| 

1.3.2 S ́eries enti`eres et fonctions analytiques .

1.3.3 Fonctions holomorphes 

2 Transformation de Laplace des fonctions 

2.1 D ́efinitions et propri ́et ́es 

2.1.1 Abscisse de sommabilit ́e 

2.1.2 Holomorphie de la transform ́ee de Laplace  

2.2 Exemples de transform ́ees de Laplace de fonctions

2.3 Transform ́ee de Laplace d’une fonction d ́eriv ́ee 

2.4 Transform ́ee de Laplace des primitives d’une fonction

2.5 Transform ́ee de Laplace et translation

2.6 Transform ́ee de Laplace et convolution

2.7 Inversion de la transformation de Laplace .

2.7.1 Lien avec la transform ́ee de Fourier

2.7.2 Formule d’inversion 

3 Theorie  elementaire des distributions 

3.1 D ́efinition des distributions

3.1.1 Introduction 

3.1.2 D, espace des fonctions test 

3.1.3 D' espace des distributions 

3.2 Op ́erations sur les distributions .

3.2.1 D ́erivation 

3.2.2 Multiplication 

3.3 Topologie dans l’espace des distributions 

3.3.1 Convergence dans D′

3.3.2 Sur-ensembles de D 

3.3.3 Sous-ensembles de D′

3.4 Les distributions `a plusieurs dimensions .

3.4.1 D ́efinitions et exemples 

3.4.2 D ́erivation dans D'(IR3) 

3.4.3 Application 

4 La convolution 

4.1 Convolution des fonctions 

4.1.1 D ́efinition

4.1.2 Interpr ́etation physique 

4.1.3 Fonctions causales 

4.2 Convolution dans D

4.2.1 Produit tensoriel

4.2.2 Convolution de distributions 

4.3 R ́egularisation 

4.3.1 Continuit ́e de la convolution

4.3.2 Notions de densit ́e des ensembles 

4.4 Convolution en physique 

4.4.1 Propri ́et ́es de l’op ́erateur 

4.5 Alg`ebre de convolution

4.5.1 Equation de convolution

4.5.2 Calcul symbolique 

5 Transformation de Fourier des fonctions

5.1 D ́efinition et exemples 

5.1.1 Exemples 

5.2 Transformation de Fourier inverse

5.2.1 Probl`eme d’inversion

5.2.2 Interpr ́etation physique .

5.3 Propri ́et ́es des transform ́ees de Fourier .

5.3.1 Translation, modulation, changement d’ ́echelle 

5.3.2 D ́eriv ́ees et majorations 

5.4 Transform ́ee en cosinus et sinus .

5.5 Convolution et transformation de Fourier 

5.6 Transform ́ee de Fourier dans IR3

6 Transformation de Fourier des distributions

6.1 Introduction

6.2 L’espace de Schwartz, S 

6.2.1 Convergence dans S 

6.2.2 Propri ́et ́es des fonctions de S 

6.3 L’espace S

des distributions temp ́er ́ees 

6.3.1 Exemples de distributions temp ́er ́ees 

6.4 Transform ́ee de Fourier dans S

6.5 Transform ́ee de Fourier dans E

6.6 Convolution et transformation de Fourier 

6.7 Recherche des transform ́ees de Fourier .

6.7.1 Propri ́et ́es 

6.7.2 Exemples de transform ́ees 

6.8 Transformation de Fourier dans L2

6.8.1 L’espace L2

6.8.2 Relation de Parseval-Plancherel 

6.8.3 Transformation de Fourier dans L2(IR) 

6.8.4 Transformation de Fourier dans L2([a, b])

6.9 Transform ́ee de Fourier de distributions p ́eriodiques

6.9.1 Peigne de Dirac de p ́eriode 1 

6.9.2 Peigne de Dirac de p ́eriode T 

6.9.3 Distribution p ́eriodique r ́eguli`ere 

6.10 Transformation de Laplace de distributions 

6.10.1 D ́efinition 

6.10.2 Exemples 

6.10.3 Propri ́et ́es 

6.10.4 Application de la transformation de Laplace au calcul symbolique

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