Élément de distributions et, d'éqautions aux dérivées partielles
Cours et problèmes résolus
Auteur : Claude Zuily
Livre gratuit sous forme pdf
CHAPITRE 1 • ESPACES DE FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES
1. Les espaces Ck(í2)
1.1. Notations
1.2. Formule de Leibniz
1.3. Topologie des espaces Ck(í2)
1.4. Une propriété de C00 (í2)
2. Les espaces C~(í2), OS: k S: +oo
2.1. Support d'une fonction continue
2.2. Les espaces C~(í2)
2.3. Topologie des espaces C~(í2)
2.4. Construction de fonctions plateaux
2.5. Partition de l'unité
3. Théoremes de densité
3.1. Troncature
3.2. Régularisation
4. Formule de Taylor avec reste intégral
CHAPITRE 2 • LES DISTRIBUTIONS
1. Définition des distributions
2. Ordre d'une distribution
3. Exemples
4. Support d'une distribution
5. Distributions à support compact
6. Un lemme utile
CHAPITRE 3 • OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
1. Multiplication par une fonction C00
2. Dérivation des distributions
2.1. Propriétés et remarques
2.2. Exemples
2.3. Formule des sauts à une variable
2.4. Formules de Gauss et Green
2.5. Distributions homogenes
2.6. Distributions indépendantes d'une variable
2. 7. Solutions élémentaires
CHAPITRE 4 • CONVERGENCE DES SUITES DE DISTRIBUTIONS
l. Convergence dans V'(D)
2. Le théoreme de Banach-Steinhaus
3. Application: !'espace Ck(I, V'(í2))
4. Remarques
CHAPITRE 5 • PRODUIT TENSORIEL DES DISTRIBUTIONS
CHAPITRE 6 • CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS
1. Convolution de deux distributions
2. Théoremes de densité
3. Support singulier d'une distribution
4. Utilisation des solutions élémentaires
4.1. Opérateurs hypoelliptiques
4.2. Existence de solutions
4.3. Structure locale des distributions
5. Retour sur les espaces Ck(J, V'(!1))
6. Généralisation
CHAPITRE 7 • IMAGE D'UNE DISTRIBUTION
1. Cas ou f est un difféomorphisme C00 de !11 sur D2
2. Généralisation au cas ou f' (x) est surjective
CHAPITRE 8 • PROBLEME DE DIRICHLET POUR LE
LAPLACIEN
1. Les espaces de Sobolev
1.1. Propriétés des espaces de Sobolev
1.2. Le dual de H0 (!1)
1.3. L'inégalité de Poincaré
1.4. Compacité
2. Probleme de Dirichlet pour le Laplacien
CHAPITRE 9 • L'ÉQU ATION DES ONDES DANS IRt x IR~
1. Solution élémei1taire de D dans !Ri x IR~
2. Le probleme de Cauchy dans ]O, +oo[ x IR3
2.1. Le probleme homogcne
2.2. Propriétés de la solution
2.3. Le probleme inhomogene
2.4. Unicité de la solution
CHAPITRE 10 • LA TRANSFORMATION DE FOURIER
1. L'espace S(!Rn). La transformation de Fourier dans S(!Rn)
1.1. L'espace de Schwartz S(!Rn)
1.2. La transformation de Fourier
2. Propriétés de la transformation de Fourier dans S
3. L'espace S' et la transformation de Fourier dans S'
3.1. L'espace S'
3.2. Transformation de Fourier dans S'
3.3. Propriétés de la transformation de Fourier dans S'
4. Transformée de Fourier des distributions à support compact
5. Transformation de Fourier dans L1 et L2
6. Transformation de Fourier et convolution
7. Transformation de Fourier partielle et applications
7.1. Application à la recherche de solutions élémentaires
8. Le théoreme de Palais-Wiener-Schwartz
8.1. Le cas des fonctions
8.2. Le cas des distributions
8.3. Application
9. La méthode de la phase stationnaire
CHAPITRE 11 • LES ESPACES DE SOBOLEV
1. Les espaces H s (IR n)
1.1. Définition
1.2. Densité des fonctions régulieres
1.3. Opérations sur H 8 (Rn)
1.4. Structure locale des distributions
1.5. Dualité
1.6. Compacité
1.7. Traces
2. Les espaces Hk(JR+)
2.1. Densité des fonctions régulieres
2.2. Prolongement à Rn
2.3. Régularité et compacité
2.4. Traces
2.5. Caractérisation de HJ (JR'.D
3. Les espaces Hk(D.)
4. Retour sur le probleme de Dirichlet pour le Laplacien
4.1. Probleme de Dirichlet non homogene
4.2. Régularité d'ordre supérieur
CHAPITRE 12 • L'ÉQUATION DE SCHRÕDINGER DANS R x Rn
1. Le probleme de Cauchy
1.1. Donnée dans S'(Rn)
1.2. Donnée dans S(Rn)
1.3. Donnée dans H 8 (Rn)
1.4. Forme de la solution
1.5. Décroissance à l'infini de la solution 157
CHAPITRE 13 • THÉORIE SPECTRALE DU PROBLEME DE DIRICHLET POUR LE LAPLACIEN
1. Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints, compacts
1.1. Spectre
1.2. Adjoint
1.3. Opérateurs positifs
1.4. Opérateurs compacts
2. Application à la théorÍe spectrale du Laplacien
3. Application au probleme mixte
3.1. L'équation de la chaleur
3.2. L 'équation des ondes
4. La formule de Weyl
4.1. Étude du noyau de la chaleur
4.2. Comparaison de p et k
CHAPITRE 14 • PROBLEMES
1. Énoncés
2. Solutions
BIBLIOGRAPHIE
NOTATIONS
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