Distributions, analyse de FOURIER et transformation de LAPLACE
Cours et exercices
Livre gratuit sous forme pdf
Auteurs : Ahmed Lesfari
Table des matières
I DISTRIBUTIONS
1 Définitions et exemples
1.1 Espace des fonctions test 'D
1.2 Définition d'une distribution .
1.3 Exemples de distributions .
1.3.1 Fonctions localement sommables
1.3.2 Distribution de Dirac
1.3.3 Mesures
1.4 Quelques définitions et propriétés locales .
1.5 Extension de l'espace 'D : espaces C, et S
1.6 Exercices résolus
1. 7 Exercices proposés
2 Dérivation des distributions
2.1 Définition et propriétés
2.2 Exemples
2.2.1 Dérivée de la fonction d'Heaviside
2.2.2 Dérivée de la distribution de Dirac
2.2.3 Dérivée d'une fonction discontinue
2.3 Extension au cas de plusieurs variables .
2.4 Exercices résolus
2.5 Exercices proposés
3 Opérations élémentaires
3.1 Multiplication des distributions
3.2 Translation d'une distribution .
3.3 Changement d'échelle
3.4 Transposée et parité d'une distribution .
3.5 Exercices résolus
3.6 Exercices proposés
4 Convergence des distributions
4.1 Définitions et propriétés
4.2 Exercices résolus .
4.3 Exercices proposés
5 Convolution
5.1 Produit tensoriel
5.2 Convolution des fonctions
5.3 Convolution des distributions
5.4 Algèbre de convolution
5.5 Équation de convolution
5.5.1 Définitions et propriétés
5.5.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants
5.6 Exercices résolus .
5.7 Exercices proposés
II ANALYSE DE FOURIER
6 Séries de Fourier
6.1 Séries trigonométriques .
6.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet
6.3 Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass
6.4 Égalité de Parseval et inégalité de Bessel .
6.5 Séries de Fourier des distributions .
6.6 Exercices résolus
6.7 Exercices proposés
7 Transformée de Fourier
7.1 Transformée de Fourier dans C, 1 .
7.2 Transformée de Fourier dans S
7.3 Transformée de Fourier des distributions
7.4 Transformée de Fourier dans C,
7.5 Transformée de Fourier à plusieurs variables
7.6 Exercices résolus
7.7 Exercices proposés \
III TRANSFORMATION DE LAPLACE
8 Transformée de Laplace
8.1 Transformée de Laplace des fonctions .
8.2 Transformée de Laplace des distributions .
8.3 Applications
8.3.1 Équations différentielles
8.3.2 Résolution des équations de convolution
8.3.3 Résolution des équations intégrales
8.3.4 Etude de la stabilité de quelques systèmes non-linaires
Exercices résolus .
Exercices proposés
9 Appendice
9.1 Éléments de topologie .
9.2 Mesure et intégrale de Lebesgue .
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