Mathématique pour l'ingénieur
Auteur : Thomas Cluzeau.
École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Limoges 16 rue d'atlantis, Parc ester technopole 87068 Limoges CEDEX cluzeau@ensil.unilim.fr.
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Table des matières
1 Introduction aux distributions
1.1 Fonctionnelle .
1.2 L’espace de fonctions tests D .
1.2.1 Définition.
1.2.2 Exemples.
1.2.3 Topologie de D.
1.3 L’espace D des distributions.
1.3.1 Définition.
1.3.2 Exemples, distributions régulières et singulières .
1.3.3 Support d’une distribution .
1.4 Opérations sur les distributions.
1.4.1 Translation .
1.4.2 Transposition.
1.4.3 Dilatation (homothétie ou changement d’unité).
1.4.4 Multiplication des distributions.
1.4.5 Dérivation des distributions .
1.4.6 Dérivation d’une fonction discontinue .
1.4.7 Convergence (faible) dans l’espace D des distributions .
1.4.8 Sous-espaces de D.
1.5 Distributions à plusieurs dimensions.
2 La Convolution
2.1 Produit tensoriel .
2.1.1 De deux fonctions .
2.1.2 De deux distributions.
2.2 Produit de convolution.
2.2.1 Convolution de deux fonctions.
2.2.2 Notion de mesure floue .
2.2.3 Convolution de deux distributions .
2.2.4 Propriétés du produit de convolution de deux distributions .
2.3 Algèbre de convolution et résolution d’équations différentielles .
2.3.1 Définition .
2.3.2 Calcul algébrique.
2.3.3 Résolution d’une équation différentielle avec conditions initiales.
2.4 Interprétation physique de la convolution.
2.4.1 Systèmes décrits par un opérateur de convolution.
2.4.2 Système causal.
2.4.3 Réponse à une excitation exponentielle.
3 La Transformation de Fourier.
3.1 Transformée de Fourier des fonctions.
3.1.1 Définition et existence.
3.1.2 Inversion.
3.1.3 Transformée de Fourier en sinus et cosinus.
3.1.4 Propriétés.
3.1.5 Dérivation.
3.1.6 Transformée de Fourier et convolution.
3.1.7 Formule de Parseval-Plancherel.
3.2 Transformée de Fourier des distributions.
3.2.1 Définition.
3.2.2 Espace S et transformée de Fourier.
3.2.3 Transformée de Fourier des distributions tempérées.
3.2.4 Propriétés.
3.2.5 Transformée de Fourier de la distribution peigne de Dirac.
3.3 Séries de Fourier et Échantillonnage.
3.3.1 Transformée de Fourier des fonctions périodiques.
3.3.2 Échantillonnage.
4 La Transformation de Laplace
4.1.1 Définition et existence.
4.1.2 Lien entre transformées de Laplace et de Fourier et formule d’inversion.
4.1.3 Propriétés et transformées classiques.
4.2 Transformée de Laplace des distributions.
4.2.1 Exemples.
4.2.2 Lien entre transformée de Laplace et de Fourier.
4.3 Applications en physique.
4.3.1 Calcul des fonctions de transfert en électronique.
4.3.2 Résolution d’équations différentielles en mécanique.
4.4 Résolution d’équations de convolution.
A Décomposition en éléments simples.
A.1 Décomposition en partie entière et partie polaire.
A.2 Décomposition de la partie polaire en éléments simples.
A.2.1 Décomposition en éléments simples sur C.
A.2.2 Décomposition en éléments simples sur R.
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