Théorie des distributions

Théorie des distributions

Livre gratuit sous forme pdf

Auteur : H. Boumaza

U.P.N - Sup Galilée Année scolaire 2015-2016
Formation Ingénieurs MACS / M1 Mathématiques

Table des matières

I Notions de bases 

1 Rappels de théorie de l’intégration 

1.1 Mesure de Lebesgue sur R d .

1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . 

1.1.2 Espaces mesurés et applications mesurables . 

1.2 Intégrale de Lebesgue sur R d .

1.2.1 Construction de l’intégrale de Lebesgue .

1.2.2 Théorème de convergence dominée . 

1.2.3 Intégrales à paramètre . 

1.2.4 Les espaces L p . 

1.2.5 Théorème de Fubini .

1.2.6 Théorème du changement de variable .

2 Introduction à la théorie des distributions 

2.1 Autour du Dirac . 

2.1.1 De la “définition” du Dirac .

2.1.2 Mesure de Dirac en 0 . 

2.1.3 Notion d’intégrale d’action . 

2.2 Notion de dérivée 

2.3 Le peigne de Dirac .

2.4 Le Dirac en électrostatique .

3 Fonctions test 

3.1 Notations multi-indicielles .

3.2 Formule de Taylor avec reste intégral . 

3.3 Fonctions de classe C ∞ à support compact .

3.3.1 Support d’une fonction continue 

3.3.2 Espace des fonctions test

3.3.3 Topologie de C ∞ ( Ω ) 

3.3.4 Fonctions ”pic” et ”plateau” . 

3.4 Densité par troncature et régularisation .

3.4.1 Troncature .

3.4.2 Produit de convolution 

3.4.3 Régularisation . 

3.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . 

4 Distributions sur un ouvert de R d 

4.1 Définitions 

4.1.1 Définition fonctionnelle 

4.1.2 Définition par l’ordre . 

4.1.3 Ordre d’une distribution 

4.2 Premiers exemples .

4.2.1 Distribution associée à une fonction L 1 loc

4.2.2 Distribution de Dirac.

4.2.3 Distribution de Dirac dérivée .

4.2.4 Mesures de Radon .

4.2.5 Distributions positives . 

4.2.6 La valeur principale de 1/x

4.2.7 Partie finie de x α

4.2.8 Un exemple de distribution d’ordre infini 

4.3 Convergence des suites de distributions 

5 Opérations sur les distributions 

5.1 Multiplication par une fonction C ∞.

5.2 Les équations xT = 0, xT = 1 et xT = S .

5.3 Dérivation d’une distribution 

5.4 Les équations T 0 = 0 et ∂ x i T = 0

5.5 Formule des sauts en dimension 1 .

6 Convolution des distributions 

6.1 Produit de convolution de deux distributions.

6.2 Propriétés de la convolution .

6.3 Interprétation physique de la convolution.

6.4 Comment calculer un produit de convolution.

6.4.1 Convolution de deux fonctions dans L 1

6.4.2 Convolution d’une distribution et d’une fonction dans C ∞ ( R d ) 

6.4.3 Utilisation des propriétés de la convolution 

7 Solutions élémentaires d’EDPs I 

7.1 Théorèmes d’existence .

7.1.1 Définitions et premières propriétés .

7.1.2 Existence de solutions.

7.2 Théorème de régularité .

7.3 Exemples de solutions élémentaires.

7.3.1 Problème du laplacien.

7.3.2 L’équation des ondes en dimension 1 

II Notions avancées 

8 Support d’une distribution 

8.1 Partitions de l’unité.

8.2 Restriction à un ouvert.

8.3 Support d’une distribution .

8.4 Distributions à support compact.

8.5 Distributions à support ponctuel.

9 Convolution des distributions II 

9.1 Dérivation et intégration sous le crochet .

9.2 Produit tensoriel de deux distributions .

9.3 Produit de convolution de deux distributions.

9.3.1 Définition.

9.3.2 Propriétés de base.

9.3.3 Convolution et support.

9.3.4 Convolution et translations .

9.3.5 Comment calculer un produit de convolution.

9.3.6 Généralisation aux paires convolutives.

9.4 Applications du produit tensoriel et de la convolution .

9.4.1 Théorème de densité.

9.4.2 Structure locale des distributions.

9.4.3 Le théorème du noyau de Schwartz .

10 Solutions élémentaires d’EDPs II 

10.1 Théorèmes d’existence .

10.1.1 Définition et premières propriétés.

10.1.2 Existence de solutions.

10.2 Théorème de régularité.

10.3 Exemples de solutions élémentaires.

10.3.1 Equation de la chaleur et modèle de Black-Scholes-Merton .

10.3.2 Opérateur

10.4 Support singulier d’une distribution.

11 Formule des sauts 

11.1 Formule des sauts en dimension 1 .

11.2 Formule des sauts pour un demi-espace .

11.3 Ouverts réguliers dans R d.

11.3.1 Définition.

11.3.2 Vecteur normal unitaire sortant .

11.3.3 Mesure de surface, exemples.

11.4 Formule de Stokes .

11.4.1 Formule de Stokes .

11.4.2 Intégration par parties multidimensionnelle

11.4.3 Formule de Green pour le laplacien .

11.4.4 Formule des sauts multidimensionnelle .

11.5 Applications.

11.5.1 Les relations de Rankine-Hugoniot .

11.5.2 Equation des ondes en dimension 3

Télécharger