Éléments de Traitement du Signal

Éléments de Traitement du Signal

Auteur : G.Baudoin, J.-F.Bercher

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Table des matières

I Table des matières 

I Transformée de Fourier et tutti quanti 

1 Premières définitions autour de la transformée de Fourier
2 Principales propriétés de la transformée de FOURIER
3 Impulsion de DIRAC 

3.1 Applications et conséquences 

3.1.1 Transformée de FOURIER d’une impulsion retardée 

3.1.2 Transformée de FOURIER d’un signal continu 

3.1.3 Transformée de FOURIER d’une exponentielle complexe 

3.1.4 Transformée de FOURIER des fonctions trigonométriques .

3.1.5 Transformée de FOURIER de la fonction Signe . 

3.1.6 Transformée de FOURIER de l’échelon unité .

3.2 Relation entre série et transformée de FOURIER . 

3.3 Relations d’incertitude pour les signaux d’énergie finie . 

4 Convolution .

4.1 Filtres et convolution .

4.2 Causalité et stabilité . 

4.3 Interprétation graphique de la convolution .

4.4 Réponse en fréquence .

4.4.1 Conséquences . 

5 Fonctions de corrélation .

5.1 Définitions et propriétés .

5.1.1 Définitions . 

5.1.2 Propriétés . 

5.2 Densités spectrale d’énergie et de puissance .

5.3 Relation corrélation-convolution . 

5.4 Filtrage .

Exercices et problèmes 

II Échantillonnage et quantification 

1 Échantillonnage .

1.1 Première démonstration du théorème de Shannon .

1.2 Seconde démonstration du théorème de Shannon . 

1.3 Rappel sur le lemme de Poisson .

2 Quantification .

2.1 Définition de la quantification .

2.2 Quantification Uniforme . 

2.3 Caractéristique de quantification .

2.4 Caractéristique de l’erreur de quantification, cas de la quantification uniforme . 

2.5 Dynamique d’un quantificateur uniforme N bits .

2.6 Quantification Non-Uniforme, quantification logarithmique . 

2.6.1 Loi de compression expansion .

2.6.2 Approximations par segments des lois de compression A et μ . 

Exercices et problèmes . 

III Transformée de Fourier discrète : TFD et TFR 

1 Transformée de Fourier Discrète : TFD .

1.1 Définition de la TFD . 

1.2 Inversion de la TFD . 

1.3 Lien entre la transformée de Fourier et la TFD . 

1.4 Comparaison entre la transformée de Fourier et la TFD . 

1.5 Fenêtres de pondération .  

1.5.1 Fenêtres rectangulaires, triangulaires et paraboliques. 

1.5.2 Fenêtres Fenêtres détruisant par addition algébrique, les lobes secondaires de

la fenêtre rectangulaire . 

1.5.3 Autres fenêtres : Gauss, Kaiser, Dolph-Chebychev .

1.6 Problèmes de visualisation de la TFD .

1.7 Propriétés de la TFD et convolution circulaire .

1.7.1 Théorème de Parseval .

1.7.2 Théorème de la convolution discrète .

1.7.3 Théorème du retard circulaire .

2 Transformée de Fourier Rapide TFR, Fast Fourier transform FFT 

2.1 FFT avec entrelacement temporel 

2.2 FFT avec entrelacement fréquentiel .  

2.3 Bit reversal . 

2.4 Formulation matricielle de l’algorithme de Cooley-Tukey . 

2.5 Autres algorithmes de FFT .  

2.6 Utilisation de la FFT pour la convolution rapide . 

2.7 Calcul de convolution par section d’une des suites  

Exercices et problèmes .  

IV Signaux aléatoires 

1 Description d’un signal aléatoire .

1.1 Description complète .

1.2 Description partielle .

1.2.1 Description à un instant .

1.2.2 Description à deux instants .

2 Propriétés fondamentales . 

2.1 Stationnarité .

2.2 Ergodisme . 

2.3 Le syndrome gaussien .

2.4 Signaux aléatoires à temps discret . 

3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie .

3.1 Analyse dans le domaine temporel  

3.1.1 Définitions et propriétés . 

3.1.2 Notion de bruit blanc  

3.2 Transformation des fonctions aléatoires par filtrage . 

3.2.1 Rappel . 

3.2.2 Transformation de la moyenne .  

3.2.3 Théorème, ou formule des interférences . 

3.3 Analyse dans le domaine fréquentiel .

3.4 La représentation de Cramér . 

3.5 Bruit blanc à temps discret .

4 Un exemple d’application : le filtrage adapté . 

4.1 Contexte . 

4.2 Maximisation du rapport signal-à-bruit . 

4.3 Approche probabiliste . 

4.4 Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires . 

Exercices et problèmes  

V Introduction au filtrage numérique 

1 Systèmes linéaires discrets invariants en temps.  

1.1 Définition .  

1.1.1 Linéarité . 

1.1.2 Invariance en temps . 

1.2 Réponse impulsionnelle . 

1.3 Relation entrée-sortie, convolution discrète . 

1.4 Réponse en fréquence . 

1.5 Réponse à une entrée fréquence pure . 

1.5.1 Relation entre les transformées de Fourier de l’entrée et de la sortie .

1.6 Fonction de transfert en z . 

1.6.1 Définition  

1.6.2 Relation entre les transformées en z de l’entrée et de la sortie d’un filtre.

2 Quelques rappels sur la transformée en z  

2.1 Domaine de convergence . 

2.2 Linéarité . 

2.3 Théorème du retard . 

2.4 Théorème de la convolution .  

2.5 Théorème de Parseval . 

2.6 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . 

2.7 Intégration et dérivation .  

2.8 Inversion de la transformée en z . 

3 Fonctions de transfert rationnelles en z, FIR, IIR  

3.1 Calcul de la réponse impulsionnelle d’un filtre RII . 

3.1.1 Rappel sur le théorème des résidus  

4 Causalité et stabilité . 

4.1 Causalité . 

4.2 Stabilité .  

4.2.1 1ere ` condition nécessaire et suffisante de stabilité  

4.2.2 2eme ` condition nécessaire et suffisante de stabilité . 

4.2.3 Stabilité des FIR  

5 Etude des filtres numériques élémentaires . 

5.1 Introduction  

5.2 Etude des zéros de transmission 

5.2.1 Cas d’une cellule d’ordre 1 . 

5.2.2 Cas d’une cellule d’ordre deux . 

5.3 Cellule FIR d’ordre un 

5.3.1 Généralités  

5.3.2 Exemple . 

5.3.3 Cellules spéciales .  

5.4 Cellule FIR d’ordre 2 . 

5.4.1 Généralités .

5.4.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence . 

5.4.3 inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) . 

5.4.4 Exemple .  

5.4.5 Changement du signe du coefficient b1, changement de z en -z . 

5.5 Cellule IIR d’ordre 1 . 

5.5.1 Généralités  

5.5.2 Exemple 

5.6 Cellule IIR d’ordre 2       

5.6.1 Généralités . . 

5.6.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence  

5.6.3 Inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) . 

5.6.4 Exemple .  

5.6.5 Changement du signe du coefficient a1, changement de z en -z .  

6 Structures des filtres numériques . . 

6.1 Structures directes . 

6.2 Structures directes non canoniques . 

6.3 structures directes canoniques DN et ND . 

6.4 Structures décomposées .  

6.4.1 Structures cascade 

6.4.2 Structures parallèles  

Exercices et problèmes  

Index

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Méthodes des éléments finis

Méthodes des éléments finis

Master Modélisation et Calcul Scientique. Année 2016/2017

Auteur : Mohamed ADDAM

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Table des matières

1 Analyse fonctionnelle et Espace de Hilbert 

1.1 Espaces vectoriels normés  

1.1.1 Définitions et notations . 

1.1.2 Exemples d’espaces vectoriels normés . 

1.1.3 Espaces de Banach . 

1.1.4 Espaces L p (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) .  

1.1.5 Espace des fonctions . 

1.2 Dual d’un espace vectoriel normé . 

1.2.1 Dual de E . 

1.2.2 Bidual de E . 

1.3 Espace de Hilbert . 

1.3.1 Définitions et Propriétés élémentaires d’un espace de Hilbert .  

1.3.2 Le dual d’un espace de Hilbert . 

1.3.3 Théorème de Lax-Milgram . 

1.4 Somme Hilbertienne. Base Hilbertienne . 

1.5 Exemples d’espaces de Hilbert : espaces de Sobolev .  

1.5.1 Espaces L 2 (Ω,dx) .  

1.5.2 Espace de Sobolev W 2,1 (Ω) = H 1 (Ω)  

1.5.3 Espace de Sobolev W 2,m (Ω) = H m (Ω) 

1.5.4 Espace W(Ω) = H 1 0 (Ω) 

2 Intoduction aux équations aux dérivées partielles 

2.1 Démarche de la modélisation numérique 

2.1.1 Généralités 

2.1.2 Modèle Physique

2.1.3 Modèle Mathématique : équation stationnaire de la chaleur

2.1.4 Modèle numérique 

2.2 Classification des équations aux dérivées partielles  

2.3 Classification des conditions aux limites 

2.4 Équations stationnaires  

2.4.1 Équations stationnaires 1D 

2.4.2 Exemples d’équations aux dérivées partielles de type stationnaire : problèmes aux limites  1

2.4.3 Équation elliptique multidimensionnelle 

2.5 Équations non stationnaires ou évolutionnaires 

2.5.1 Équation de diffusion 1D 

2.5.2 Résolution Analytique de l’équation de diffusion 

2.5.3 Résolution Analytique du modèle de la barre infinie  

2.5.4 Profil d’énergie de l’équation de la chaleur 

2.6 Équations des ondes 

2.6.1 Petite histoire sur les équations aux dérivées partielles  

2.6.2 Équation des cordes vibrantes : 1D 

2.6.3 Profil d’énergie d’une corde vibrante 

2.6.4 L’équation des ondes : 2D  

2.6.5 Résolution analytique de l’équation :

2.7 Remarques sur les modèles mathématiques : Notion de problème bien posé 

2.8 Équations aux dérivées partielles et leurs applications 

3 Formulation variationnelle abstraite et Solution faible 

3.1 Formulation variationnelle

3.1.1 Exemple 1D 

3.1.2 Problèmes aux limites de type stationnaire 

3.1.3 Exemple 2D 

3.1.4 Formulation générale 

3.2 Existence et unicité de la solution  

3.2.1 Continuité 

3.2.2 Théorème de Lax-Milgram 

3.2.3 Exemple de problème variationnel 1D  

3.3 Condition inf-sup de Banach-Neca-Babuska  

3.3.1 Le problème modèle 1D  

3.4 EDP elliptiques d’ordre 2 

4 Méthodes de Galerkin et Ritz pour la résolution des EDPs. 

4.1 Principes généraux

4.1.1 Point de vue discret : Condition inf-sup 

4.1.2 Interprétation de u h 

4.2 Approximation selon la méthode de Ritz 

4.3 Exemples d’applications 

4.3.1 Exemple d’application en 1D : conditions de Dirichlet-Neumann 

4.3.2 Exemple d’application en 1D : conditions de Robin 

4.3.3 Exemple d’application en 2D 

5 Méthode des éléments finis et Approximation polynomiale.

5.1 Introduction et définitions

5.2 Unisolvance : Ensembles unisolvants, interpolation

5.3 Approximation interne générale 

5.4 Elément fini de Lagrange . 

5.5 Interpolation par éléments finis 

5.5.1 Interpolation en une dimension d’espace 

5.5.2 Maillage en 1D . 

5.5.3 Elément fini P 1 : Exemple introductif .

5.6 Eléments finis en dimension 1 

5.6.1 EDP et formulation variationnelle

5.6.2 Espace d’approximation et solution approchée 

5.6.3 Problème de Dirichlet (5.7) dans la pratique 

6 Estimation d’erreurs et Estimateurs d’erreurs. 

6.1 Erreur absolue et Lemme de Céa 

6.2 Méthode de Galerkin et Méthode des éléments finis 

6.2.1 Méthode de Galerkin 

6.2.2 Méthode des éléments finis 

6.3 Convergence et estimation d’erreur

7 Estimateurs Problèmes non-stationnaires. 

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Volumes Finis

Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP

Auteur : J.-F. Scheid

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

1 Equations elliptiques 

1.1 Introduction 

1.2 Quelques rappels sur les solutions d’équations elliptiques linéaires 

1.2.1 Existence, unicité et régularité des solutions

1.2.2 Principes du maximum

1.3 Volumes Finis pour les problèmes elliptiques 1D 

1.3.1 Maillage

1.3.2 Formulation en Volumes Finis

1.3.3 Système linéaire

1.3.4 Convergence 

1.3.5 Equation elliptique 1D à coefficients discontinus

1.4 Volumes Finis pour les problèmes elliptiques 2D 

1.4.1 Maillage

1.4.2 Formulation en Volumes Finis

1.4.3 Exemples de maillages admissibles 

1.4.4 Système linéaire 

1.4.5 Estimations d’erreurs 

1.4.6 Equation elliptique 2D avec coefficients discontinus 

2 Equations paraboliques 

2.1 Introduction 

2.1.1 Existence et unicité des solutions 

2.1.2 Principes du maximum 

2.2 Volumes Finis pour l’équation de la chaleur en dimension 1 d’espace

2.2.1 Schéma d’Euler explicite 

2.2.2 Schéma d’Euler implicite 

2.3 Equation de la chaleur en 2D d’espace et Volumes Finis .

2.3.1 Discrétisation en espace 

2.3.2 Schéma explicite en temps 

2.3.3 Schéma implicite en temps 

3 Equation de transport 

3.1 Introduction 

3.2 Maillage 

3.3 Formulation en Volumes Finis 

3.4 Système linéaire 

3.5 Condition de stabilité 

4 Equations de Stokes 

4.1 Introduction

4.2 Maillages 

4.3 Formulation en Volumes Finis .

4.3.1 Approximation de la divergence 

4.3.2 Approximation de l’équation de Stokes

5 Equations de Navier-Stokes incompressibles 

5.1 Introduction 

5.2 Semi-discrétisation en temps 

5.3 Formulations en Volumes Finis 

Appendices 

A Modélisation des équations de Navier-Stokes et équations de Stokes 

A.1 Introduction

A.2 Conservation de la masse

A.3 Loi fondamentale de la dynamique - loi de comportement 

A.4 Conservation du volume 

A.5 Adimensionalisation des équations de Navier-Stokes 

A.6 Réductions des équations 

B Eléments d’analyse matricielle. 

B.1 Matrice réductible 

B.2 Matrice à diagonale dominante 

B.3 Matrice monotone

B.4 Localisation des valeurs propres

C Quelques inégalités. 

C.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz 

C.2 Inégalité de Young 

C.3 Inégalité de Gronwall

C.4 Inégalité de Gronwall discrète 

Références 

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Traitement numérique du signal

Traitement numérique du signal

Théorie et pratique

Auteur : Maurice Bellanger

Livre gratuit sous forme pdf

TABLE DES MATIÈRES

PRÉFACE V

AVANT-PROPOS XIII

INTRODUCTION 

CHAPITRE 1 • LA NUMÉRISATION DU SIGNAL. ÉCHANTILLONNAGE ET CODAGE 

1.1 L’analyse de Fourier 

1.2 Les distributions 

1.3 Les principaux signaux traités 

1.4 Normes d’une fonction 

1.5 L’opération d'échantillonnage 

1.6 L’échantillonnage en fréquence 

1.7 Le théorème de l’échantillonnage 

1.8 Échantillonnage de signaux sinusoïdaux et de signaux aléatoires 

1.9 L’opération de quantification 

Annexe 1 : La fonction I(x) 

Annexe 2 : La loi Normale Réduite 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 2 • LA TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRÈTE 

2.1 Définition et propriétés de la TFD 

2.2 La transformation de fourier rapide 

2.3 Dégradations dues aux limitations dans le calcul 

2.4 calcul de spectre par TFD 

La convolution rapide 

2.6 Calcul d’une TFD par convolution 

2.7 Réalisation 

Exercices 

CHAPITRE 3 • AUTRES ALGORITHMES DE CALCUL RAPIDE DE LA TFR 

3.1 Le produit de Kronecker des matrices 

3.2 Factorisation de la matrice de l’algorithme d’entrelacement fréquentiel 

3.3 Les transformées partielles 

3.4 Transformée avec recouvrement 

3.5 Autres algorithmes de calcul rapide 

3.6 Transformée de Fourier binaire – Hadamard 

3.7 Les transformations algébriques 

Exercices 

CHAPITRE 4 • LES SYSTÈMES LINÉAIRES DISCRETS INVARIANTS DANS LE TEMPS 

4.1 Définition et propriétés 

4.2 La transformation en Z 

4.3 Énergie et puissance des signaux discrets 

4.4 Filtrage des signaux aléatoires 

4.5 Systèmes définis par une équation aux différences 

4.6 Analyse par les variables d’état 

Exercices 

CHAPITRE 5 • LES FILTRES À RÉPONSE IMPULSIONNELLE FINIE (RIF) 

5.1 Présentation des filtres RIF 

5.2 Fonctions de transfert réalisables et filtres à phase linéaire 

5.3 Calcul des coefficients par développement en série de Fourier 

5.4 Calcul des coefficients par la méthode des moindres carrés 

5.5 Calcul des coefficients par TFD 

5.6 Calcul des coefficients par approximation de Tchebycheff 

5.7 Relations entre nombre de coefficients et gabarit de filtre 

5.8 Filtre à transition en cosinus surélevé et cosinus– Filtre de Nyquist – Filtre demi-bande 

5.9 Structures pour la réalisation des filtres RIF 

5.10 Limitations du nombre de bits des coefficients 

5.12 Fonction de transfert en z d’un filtre RIF 

5.13 Filtres à déphasage minimal 

5.14 Calcul des filtres à très grand nombre de coefficients 

5.15 Filtres RIF à deux dimensions 

5.16 Calcul des coefficients de filtres TIF-2d par la méthode des moindres carrés 

Exercices 

CHAPITRE 6 • CELLULES DE FILTRES À RÉPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) 

6.1 La cellule élémentaire du premier ordre 

6.2 La cellule du second ordre purement récursive

6.3 Cellule du second ordre générale 

6.4 Structures pour la réalisation 

6.5 Limitations du nombre de bits des coefficients 

6.6 Limitation du nombre de bits des mémoires de données 

6.7 Stabilité et auto-oscillations 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 7 • LES FILTRES À RÉPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) 

7.1 Expressions générales pour les caractéristiques 

7.2 Calcul direct des coefficients par les fonctions modèles 

7.3 techniques itératives pour le calcul des filtres RII 

7.4 Filtres basés sur les fonctions sphéroïdales 

7.5 Les structures représentant la fonction de transfert 

7.6 Limitation du nombre de bits des coefficients 

7.7 Nombre de bits des coefficients en structure cascade 

7.8 Bruit de calcul 

7.9 Détermination de la capacité des mémoires internes 

7.10 Auto-oscillations 

7.11 Comparaison entre les filtres RII et RIF 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 8 • LES STRUCTURES DE FILTRES EN CHAÎNE 

8.1 Propriétés des quadripôles 

8.2 Les filtres en échelle simulée 

8.3 Les dispositifs à commutation de capacités (DCC) 

8.4 Les filtres d’onde 

8.5 Les filtres en treillis 

8.6 Éléments de comparaison 

Bibliographie

CHAPITRE 9 • SIGNAUX COMPLEXES FILTRES DE QUADRATURE 

9.1 Transformée de Fourier d'une suite réelle et causale 

9.2 Signal analytique 

9.3 Calcul des coefficients d’un filtre de quadrature RIF 

9.4 Déphaseurs À 90° de type récursif 

9.5 Modulation À bande latérale unique 

9.6 Les filtres à déphasage minimal 

9.7 Filtre différentiateur 

9.8 Interpolation par filtre RIF 

9.9 Interpolation de Lagrange 

9.10 Interpolation par bloc – SPlines 

9.11 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 10 • LE FILTRAGE MULTICADENCE 

10.1 Sous-échantillonnage et transformée en Z 

10.2 Décomposition d’un filtre RIF passe-bas 

10.3 Le filtre RIF demi-bande 

10.4 Décomposition avec filtres demi-bande 

10.5 Filtrage par réseau polyphasé 

10.6 Filtrage multicadence à éléments RII 

10.7 Banc de filtres par réseau polyphasé et TFD 

10.8 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 11 • FILTRES QMF ET ONDELETTES 

11.1 Décomposition en deux sous-bandes et reconstitution

11.2 Filtres QMF 

11.3 Décomposition et reconstitution parfaite 

11.4 Ondelettes 

11.5 Structure en treillis 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 12 • BANCS DE FILTRES 

12.1 Décomposition et reconstitution 

12.2 Analyse des éléments du réseau polyphasé 

12.3 Calcul des fonctions inverses 

12.4 Bancs de filtres pseudo-QMF 

12.5 Calcul des coefficients du filtre prototype 

CHAPITRE 13 • ANALYSE ET MODÉLISATION 

13.1 Autocorrélation et intercorrélation 

13.2 Analyse spectrale par corrélogramme 

13.3 Matrice d’autocorrélation 

13.4 Modélisation 

13.5 Prédiction linéaire 

13.6 Structures de prédicteur 

13.7 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 14 • FILTRAGE ADAPTATIF 

14.1 Principe du filtrage adaptatif par algorithme du gradient 

14.2 Conditions de convergence 

14.3 Constante de temps 

14.4 Erreur résiduelle 

14.5 Paramètres de complexité 

14.6 Algorithmes normalisés et algorithmes du signe 

14.7 Filtrage RIF adaptatif en structure cascade 

14.8 Filtrage adaptatif RII 

14.9 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 15 • APPLICATIONS 

15.1 Détection d’une fréquence 

15.2 Boucle à verrouillage de phase 

15.3 Codage Mic-Différentiel 

15.4 Codage du son 

15.5 Annulation d’écho 

15.6 Traitement des images de télévision 

15.7 Transmission Multiporteuse – OFDM 

CONTENTS

CHAPTER 1 • Signal Digitization – Sampling and Coding

CHAPTER 2 • Discrete Fourier Transform and FFT algorithms

CHAPTER 3 • Other Fast Algorithms for the DFT

CHAPTER 4 • Time Invariant Discrete Linear Systems  

CHAPTER 5 • Finite Impulse Response Filters (FIR) 

CHAPTER 6 • Infinite Impulse Response Filter Sections  

CHAPTER 7 • Infinite Impulse Response Filters (IIR) 

CHAPTER 8 • Two-Port Filter Structures  

CHAPTER 9 • Complex Signals – Quadrature Filters  

CHAPTER 10 • Multirate Filtering 

CHAPTER 11 • QMF filters and wavelets . 

CHAPTER 12 • Filter banks 

CHAPTER 13 • Signal analysis and modeling  

CHAPTER 14 • Adaptive filters

CHAPTER 15 • Applications 

EXERCISES : Hints and answers

INDEX

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Probabilité

Probabilité

Collection dirigée par Daniel Guin

Auteur : Philippe Barbe et Michel Ledoux

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TABLE DES MATIÈRES

Préface 

I Théorie de la mesure 

I.1 Algèbre, tribu . 

I.2 Ensembles de fonctions mesurables  

I.3 Classes monotones 

I.4 Mesures 

II Intégration 

II.1 Intégrale de fonctions positives . 

II.2 Intégrale de fonctions quelconques et théorèmes de convergence 

II.3 Théorème de Radon-Nikodym . 

II.4 Intégration par rapport à une mesure image . 

II.5 Théorèmes de Fubini-Tonelli  

II.6 Espaces Lp  

III Mesures de probabilité 

III.1 Définition et exemples . 

III.2 Fonctions de répartition . 

III.3 Vecteurs aléatoires . 

III.4 Moyennes et inégalités . 

III.5 Fonctions caractéristiques . 

IV Indépendance 

IV.1 Indépendance . 

IV.2 Sommes de variables aléatoires indépendantes . 

IV.3 Applications de l’indépendance .  

IV.4 Vecteurs aléatoires gaussiens et lois gaussiennes . 

V Convergence de suites de variables aléatoires 

V.1 Convergence presque sûre . 

V.2 Convergence en probabilité .  

V.3 Convergence dans Lp . 

V.4 Convergence en loi  

V.5 Les lois faible et forte des grands nombres, le théorème limite central . 

VI Probabilités et espérances conditionnelles 

VI.1 Conditionnement discret .  

VI.2 Conditionnement (général) . 

VI.3 Lois conditionnelles  

VI.4 Espérances conditionnelles dans les espaces gaussiens . 

VII Martingales (à temps discret)  

VII.1 Généralités . 

VII.2 Théorèmes de convergence  

VII.3 Application à la loi des grands nombres  

VIII Chaînes de Markov (à espace d’états dénombrable)  

VIII.1 La propriété de Markov 

VIII.2 Calcul des lois marginales 

VIII.3 Généralisation de la propriété de Markov  

VIII.4 Comportement asymptotique. Mesures invariantes  

VIII.5 Récurrence et transience . 

VIII.6 Comportement asymptotique d’une chaîne de Markov . 

Bibliographie 

Appendice : Lois de probabilités usuelles 

Index terminologique 2

Index des notations

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Notes de cours Traitement du signal

Notes de cours Traitement du signal

24 octobre 2017

Auteur : G. Dauphin

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Table des matières

1 Description d’un signal : Cours

1.1 Classification discret/continu . 

1.2 Signaux périodiques . 

1.3 Quantification .  

1.4 Quelques transformations simples de signaux et leur visualisation .  

1.5 Dirac  

1.6 Quelques signaux . 

2 Echantillonnage d’un signal : Cours B 7

2.1 Echantillonnage . 

2.2 Critère de Shannon-Nyquist . 

2.3 Chaîne de mesure  

2.4 Puissance et énergie . 

3 Transformées de Fourier des signaux temps continu : Cours C 

3.1 Signaux périodiques/signaux à durée limitée . 

3.2 Série de Fourier . 

3.3 Propriétés de la série de Fourier . 

3.4 Transformée de Fourier à temps continu (TFTC) .  

3.5 Propriétés de la transformée de Fourier .  

3.5.1 Propriétés similaires à celles des séries de Fourier . 

3.5.2 Propriétés supplémentaires .  

3.5.3 Exemples de transformées de Fourier . 

4 Transformées de Fourier des signaux temps discret : Cours D 

4.1 Transformée de Fourier à temps discret (TFTD)  

4.2 Propriétés de la transformée de Fourier à temps discret . 

4.3 Transformée de Fourier discrète (TFD) . 

4.4 Propriétés de la transformée de Fourier discrète . 

4.5 Exemples de transformées de Fourier discrète de signaux . 

4.6 Notation matricielle . 

4.7 Bourrage de zéros . 

5 Repliement de spectre, filtres : Cours E 

5.1 Filtre analogique et réponse fréquentielle . 

5.2 Filtre numérique et réponse fréquentielle . 

5.3 Repliement de spectre . 

5.4 Critère de Shannon-Nyquist . 

5.5 Interpolation et reconstruction d’un signal .  

5.6 Sous-échantillonnage .  

5.7 Sur-échantillonnage . 

6 Filtres et descripteurs de signaux : Cours EBis 

6.1 Filtres analgoqiques et produit de convolution en temps continu .

6.2 Filtres numériques et produit de convolution en temps discret  

6.3 Intercorrélation, autocorrélation et densité spectrale .  

6.3.1 Signaux temps continu non-périodiques .  

6.3.2 Signaux temps discret non-périodiques . 

6.3.3 Signaux temps discret périodiques . 

7 Fonctions de transfert : Cours 1F 

7.1 Définition de la transformée de Laplace . 

7.2 Propriétés de la transformée de Laplace  

7.3 Filtre analogique, causalité et fonction de transfert  

7.4 Critère de stabilité des filtres analogiques .  

7.5 Filtres analogiques à phase linéaire . 

7.6 Filtres analogiques à phase minimale . 

8 Descripteurs de signaux et de filtres : cours 2F 

8.1 Transformée en Z  

8.2 Propriétés de la transformée en Z  

8.3 Filtre numérique, causalité et fonction de transfert . 

8.4 Critère de stabilité des filtres numériques .  

8.5 Filtres numériques à phase linéaire .  

8.6 Filtres numériques à phase minimale . 

9 Synthèse de filtres numériques à réponse impulsionnelle finie : Cours G 

9.1 Filtres idéaux .  

9.2 Synthèse d’un filtre numérique . 

9.3 Utilisation des fenêtres . 

9.4 Méthode de l’invariant impulsionnel . 

9.5 Application aux signaux aléatoires .  

9.5.1 Généralités .  

9.5.2 Application au débruitage d’un signal  

10 Synthèse de filtres à réponses impulsionnelles infinies : Cours H 

10.1 Définition d’un filtre de Butterworth . 

10.2 Synthèse d’un filtre analogique par un filtre de Butterworth . 

10.3 Transformée Bilinéaire .  

10.4 Synthèse d’un filtre numérique par un filtre de Butterworth 

10.5 Synthèse avec d’autres filtres .  

A Justification des égalités de Parseval 

A.1 Cas d’un signal temps continu non-périodique  

A.2 Cas d’un signal temps continu et périodique . 

A.3 Cas d’un signal temps discret non-périodique . 

A.4 Cas d’un signal temps discret périodique  

B Exemple de calculs 

B.1 Calcul de la transformée de Laplace inverse de H(p) = p−1/ (p+1)^2 

B.2 Calcul de la transformée en Z inverse de H(z) = 1−z−1/(1+z−1)^2

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Élément de distributions et d'éqautions aux dérivées partielles

Élément de distributions et, d'éqautions aux dérivées partielles

Cours et problèmes résolus

Auteur : Claude Zuily

Livre gratuit sous forme pdf

CHAPITRE 1 • ESPACES DE FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

1. Les espaces Ck(í2)

1.1. Notations

1.2. Formule de Leibniz

1.3. Topologie des espaces Ck(í2)

1.4. Une propriété de C00 (í2)

2. Les espaces C~(í2), OS: k S: +oo

2.1. Support d'une fonction continue

2.2. Les espaces C~(í2)

2.3. Topologie des espaces C~(í2)

2.4. Construction de fonctions plateaux

2.5. Partition de l'unité

3. Théoremes de densité

3.1. Troncature

3.2. Régularisation

4. Formule de Taylor avec reste intégral

CHAPITRE 2 • LES DISTRIBUTIONS

1. Définition des distributions

2. Ordre d'une distribution

3. Exemples

4. Support d'une distribution

5. Distributions à support compact

6. Un lemme utile

CHAPITRE 3 • OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

1. Multiplication par une fonction C00

2. Dérivation des distributions

2.1. Propriétés et remarques

2.2. Exemples

2.3. Formule des sauts à une variable

2.4. Formules de Gauss et Green

2.5. Distributions homogenes

2.6. Distributions indépendantes d'une variable

2. 7. Solutions élémentaires

CHAPITRE 4 • CONVERGENCE DES SUITES DE DISTRIBUTIONS

l. Convergence dans V'(D)

2. Le théoreme de Banach-Steinhaus

3. Application: !'espace Ck(I, V'(í2))

4. Remarques

CHAPITRE 5 • PRODUIT TENSORIEL DES DISTRIBUTIONS

CHAPITRE 6 • CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS

1. Convolution de deux distributions

2. Théoremes de densité

3. Support singulier d'une distribution

4. Utilisation des solutions élémentaires

4.1. Opérateurs hypoelliptiques

4.2. Existence de solutions

4.3. Structure locale des distributions

5. Retour sur les espaces Ck(J, V'(!1))

6. Généralisation

CHAPITRE 7 • IMAGE D'UNE DISTRIBUTION

1. Cas ou f est un difféomorphisme C00 de !11 sur D2

2. Généralisation au cas ou f' (x) est surjective

CHAPITRE 8 • PROBLEME DE DIRICHLET POUR LE

LAPLACIEN

1. Les espaces de Sobolev

1.1. Propriétés des espaces de Sobolev

1.2. Le dual de H0 (!1)

1.3. L'inégalité de Poincaré

1.4. Compacité

2. Probleme de Dirichlet pour le Laplacien

CHAPITRE 9 • L'ÉQU ATION DES ONDES DANS IRt x IR~

1. Solution élémei1taire de D dans !Ri x IR~

2. Le probleme de Cauchy dans ]O, +oo[ x IR3

2.1. Le probleme homogcne

2.2. Propriétés de la solution

2.3. Le probleme inhomogene

2.4. Unicité de la solution

CHAPITRE 10 • LA TRANSFORMATION DE FOURIER

1. L'espace S(!Rn). La transformation de Fourier dans S(!Rn)

1.1. L'espace de Schwartz S(!Rn)

1.2. La transformation de Fourier

2. Propriétés de la transformation de Fourier dans S

3. L'espace S' et la transformation de Fourier dans S'

3.1. L'espace S'

3.2. Transformation de Fourier dans S'

3.3. Propriétés de la transformation de Fourier dans S'

4. Transformée de Fourier des distributions à support compact

5. Transformation de Fourier dans L1 et L2

6. Transformation de Fourier et convolution

7. Transformation de Fourier partielle et applications

7.1. Application à la recherche de solutions élémentaires

8. Le théoreme de Palais-Wiener-Schwartz

8.1. Le cas des fonctions

8.2. Le cas des distributions

8.3. Application

9. La méthode de la phase stationnaire

CHAPITRE 11 • LES ESPACES DE SOBOLEV

1. Les espaces H s (IR n)

1.1. Définition

1.2. Densité des fonctions régulieres

1.3. Opérations sur H 8 (Rn)

1.4. Structure locale des distributions

1.5. Dualité

1.6. Compacité

1.7. Traces

2. Les espaces Hk(JR+)

2.1. Densité des fonctions régulieres

2.2. Prolongement à Rn

2.3. Régularité et compacité

2.4. Traces

2.5. Caractérisation de HJ (JR'.D

3. Les espaces Hk(D.)

4. Retour sur le probleme de Dirichlet pour le Laplacien

4.1. Probleme de Dirichlet non homogene

4.2. Régularité d'ordre supérieur

CHAPITRE 12 • L'ÉQUATION DE SCHRÕDINGER DANS R x Rn

1. Le probleme de Cauchy

1.1. Donnée dans S'(Rn)

1.2. Donnée dans S(Rn)

1.3. Donnée dans H 8 (Rn)

1.4. Forme de la solution

1.5. Décroissance à l'infini de la solution 157

CHAPITRE 13 • THÉORIE SPECTRALE DU PROBLEME DE DIRICHLET POUR LE LAPLACIEN

1. Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints, compacts

1.1. Spectre

1.2. Adjoint

1.3. Opérateurs positifs

1.4. Opérateurs compacts

2. Application à la théorÍe spectrale du Laplacien

3. Application au probleme mixte

3.1. L'équation de la chaleur

3.2. L 'équation des ondes

4. La formule de Weyl

4.1. Étude du noyau de la chaleur

4.2. Comparaison de p et k

CHAPITRE 14 • PROBLEMES

1. Énoncés

2. Solutions

BIBLIOGRAPHIE

NOTATIONS

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The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind

The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind

Cambridg monographs on applied and computational mathematics

Auteur : KENDALL E. ATKINSON

Livre gratuit sous forme pdf

Preface 

1 A brief discussion of integral equations 

1.1 Types of integral equations 

1.1.1 Volterra integral equations of the second kind 

1.1.2 Volterra integral equations of the first kind 

1.1.3 Abel integral equations of the first kind 

1.1.4 Fredholm integral equations of the second kind 

1.1.5 Fredholm integral equations of the first kind 

1.1.6 Boundary integral equations 

1.1.7 Wiener-Hopf integral equations 

1.1.8 Cauchy singular integral equations 

1.2 Compact integral operators 

1.2.1 Compact integral operators on C(D) 

1.2.2 Properties of compact operators 

1.2.3 Integral operators on L 2 (a, b) 

1.3 The Fredholm alternative theorem 

1.4 Additional results on Fredholm integral equations 

1.5 Noncompact integral operators 

1.5.1 An Abel integral equation 

1.5.2 Cauchy singular integral operators 

1.5.3 Wiener-Hopf integral operators Discussion of the literature 

2 Degenerate kernel methods 

2.1 General theory 

2.1.1 Solution of degenerate kernel integral equation

2.2 Taylor series approximations 

2.2.1 Conditioning of the linear system 

2.3 Interpolatory degenerate kernel approximations 

2.3.1 Interpolation with respect to the variable t 

2.3.2 Interpolation with respect to the variable s 

2.3.3 Piecewise linear interpolation 

2.3.4 Approximate calculation of the linear system 

2.4 Orthonormal expansions Discussion of the literature 

3 Projection methods 

3.1 General theory 

3.1.1 Collocation methods 

3.1.2 Galerkin's method 

3.1.3 The general framework 

3.2 Examples of the collocation method 

3.2.1 Piecewise linear interpolation 

3.2.2 Collocation with trigonometric polynomials

3.3 Examples of Galerkin's method 

3.3.1 Piecewise linear approximations 

3.3.2 Galerkin's method with trigonometric polynomials 

3.3.3 Uniform convergence 

3.4 Iterated projection methods 

3.4.1 The iterated Galerkin solution 

3.4.2 Uniform convergence of iterated Galerkin approximations 

3.4.3 The iterated collocation solution 

3.4.4 Piecewise polynomial collocation at Gauss-Legendre nodes 

3.4.5 The linear system for the itereted collocation solution 

3.5 Regularization of the solution 

3.6 Condition numbers 

3.6.1 Condition numbers for the collocation method 

3.6.2 Condition numbers based on the iterated collocation solution

3.6.3 Condition numbers for the Galerkin method 

4 The Nystrom method 

4.1 The Nystrom method for continuous kernel functions 

4.1.1 Properties and error analysis of the Nystrom method 

4.1.2 Collectively compact operator approximations 

4.2 Product integration methods 

4.2.1 Computation of the quadrature weights 

4.2.2 Error analysis 

4.2.3 Generalizations to other kernel functions 

4.2.4 Improved error results for special kernels 

4.2.5 Product integration with graded meshes 

Application to integral equations 

The relationship of product integration and collocation methods 

4.3 Discrete collocation methods 

4.3.1 Convergence analysis for {rk} {t, } 

4.4 Discrete Galerkin methods 

4.4.1 The discrete orthogonal projection operator 

4.4.2 An abstract formulation 

5 Solving multivariable integral equations 

5.1 Multivariable interpolation and numerical integration 

5.1.1 Interpolation over triangles 

5.1.2 Numerical integration over triangles 

5.2 Solving integral equations on polygonal regions 

5.2.1 Collocation methods 

5.2.2 Galerkin methods 

5.2.3 The Nystrom method  

5.3 Interpolation and numerical integration on surfaces 

5.3.1 Interpolation over a surface 

5.3.2 Numerical integration over a surface 

5.3.3 Approximating the surface 

5.3.4 Nonconforming triangulations 

5.4 Boundary element methods for solving integral equations 

5.4.1 The Nystrom method 

5.4.2 Collocation methods 

5.4.3 Galerkin methods 

5.5 Global approximation methods on smooth surfaces 

5.5.1 Spherical polynomials and spherical harmonics 

5.5.2 Numerical integration on the sphere 

5.5.3 Solution of integral equations on the unit sphere 

6 Iteration methods 

6.1 Solving degenerate kernel integral equations by iteration 

6.1.1 Implementation 

6.2 Two-grid iteration for the Nystrom method 

6.2.1 Iteration method 1 for Nystrom's method 

6.2.2 Iteration method 2 for Nystrom's method 

6.3 Two-grid iteration for collocation methods 

6.3.1 Prolongation and restriction operators 

6.3.2 The two-grid iteration method 

6.4 Multigrid iteration for collocation methods 

6.4.1 Operations count 

6.5 The conjugate gradient method 

6.5.1 The conjugate gradient method for the undiscretized

6.5.2 The conjugate gradient iteration for Nystrom's method

7 Boundary integral equations on a smooth planar boundary 

7.1 Boundary integral equations 

7.1.1 Green's identities and representation formula 

7.1.2 The Kelvin transformation and exterior problems 

7.1.3 Boundary integral equations of direct type 

The interior Dirichlet problem 

The interior Neumann problem 

The exterior Neumann problem 

The exterior Dirichlet problem 

7.1.4 Boundary integral equations of indirect type  

7.2 Boundary integral equations of the second kind 

7.2.1 Evaluation of the double layer potential 

7.2.2 The exterior Neumann problem 

7.2.3 Other boundary value problems 

7.3 Boundary integral equations of the first kind 

7.3.1 Sobolev spaces 

The trapezoidal rule and trigonometric interpolation 

7.3.2 Some pseudodifferential equations 

The Cauchy singular integral operator 

A hypersingular integral operator 

Pseudodifferential operators 

7.3.3 Two numerical methods 

A discrete Galerkin method 

7.4 Finite element methods 

7.4.1 Sobolev spaces - A further discussion 

Extensions of boundary integral operators 

7.4.2 An abstract framework 

A general existence theorem 

An abstract finite element theory 

The finite element solution as a projection

7.4.3 Boundary element methods for boundary integral equations 

8 Boundary integral equations on a piecewise smooth planar boundary 

8.1 Theoretical behavior 

8.1.1 Boundary integral equations for the interior Dirichlet problem 

8.1.2 An indirect method for the Dirichlet problem 

8.1.3 A BIE on an open wedge 

8.1.4 A decomposition of the boundary integral equation 

8.2 The Galerkin method 

8.2.1 Superconvergence results 

8.3 The collocation method 

8.3.1 Preliminary definitions and assumptions 

8.3.2 The collocation method 

A modified collocation method 

8.4 The Nystrom method 

8.4.1 Error analysis 

Discussion of the literature 

9 Boundary integral equations in three dimensions 

9.1 Boundary integral representations 

9.1.1 Green's representation formula 

The existence of the single and double layer potentials 

Exterior problems and the Kelvin transform 

Green's representation formula for exterior regions 

9.1.2 Direct boundary integral equations 

9.1.3 Indirect boundary integral equations 

9.1.4 Properties of the integral operators 

9.1.5 Properties of K and S when S is only piecewise smooth 

9.2 Boundary element collocation methods on smooth surfaces 

9.2.1 The linear system 

Numerical integration of singular integrals 

Numerical integration of nonsingular integrals 

9.2.2 Solving the linear system 

9.2.3 Experiments for a first kind equation 

9.3.1 The collocation method 

Applications to various interpolatory projections 

Numerical integration and surface approximation 

9.3.2 Iterative solution of the linear system 

9.3.3 Collocation methods for polyhedral regions 

9.4 Boundary element Galerkin methods 

9.4.1 A finite element method for an equation of the first kind 

Generalizations to other boundary integral equations 

9.5 Numerical methods using spherical polynomial approximations 

9.5.1 The linear system for (27r + Pn1C) p = Pn f 

9.5.2 Solution of an integral equation of the first kind 

Implementation of the Galerkin

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Tansformations de Laplace

Tansformations de Laplace
Théorie et illustrations par les exemples

Auteur : Gilbert DEMENGEL

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

1 Chapitre 

1 1 Transformation des fonctions

1.1 Définitions, régions de convergence 

1.2 Calcul des abscisses de convergence 

1.3 Transformation de Laplace d'une fonction 

1.4 Régions de convergence uniforme 

1.5 Holomorphie des transformées de Laplace 

1.6 Propriétés de la transformation de Laplace 

1.7 Convolution et Transformation de Laplace 

1.8 Comportements asymptotiques d'originaux et d'images 

1.9 Transformée de Laplace d'une somme de série entière 

1.10 Inversion de la transformation de Laplace 

Chapitre 2

2 1 Calcul d'images et Applications 

2.1 Détermination de transformées de Laplace de fonction 

2.2 Utilisation des formules d'inversion 

2.3 Applications à la résolution d'équations fonctionnelles 

 Chapitre 3 

Exercices sur les chapitres

Chapitre 

4 1 Transformation de Laplace des distributions 

4.1 Définitions, régions d'existence

4.2 Transformée de Laplace d'une distribution

4.3 Propriété d'holomorphie d'une transformée de Laplace

4.4 Propriétés de la transformation de Laplace

4.5 Convolution et transformation de Laplace

4.6 Comportement à l'infini d'une transformée de Laplace

4.7 Inversion de la transformation des distributions

4.8 Distributions parties finies

4.9 Transformée de Laplace d'une partie finie causale

4.10 Propriétés des images de Laplace des parties finies

Chapitre 5 

1 Calculs d'images de distributions

Chapitre 6

Chapitre 7

Transformées de demi-peignes

Transformées des parties finies de type puissances

Images de parties finies associées aux fonctions de Bessel

Calculs d'images par divers procédés

Applications à la convolution

Applications aux résolutions d'équations fonctionnelles

Problèmes aux limites de la physique

Problèmes régis par des équations différentielles

Equations aux dérivées partielles de la physique . . 1 Exercices des chapitres 4, 5 et 6

1 Annexes

Bibliographie

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