Analyse Harmonique et Distributions

Analyse Harmonique et Distributions

Auteur : Philippe Barbe et Michel Ledoux

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matieres

1 Preliminaires 

1.1 Espaces fonctionnels 

1.2 Th ́eor`emes d’int ́egration 

1.3 Fonctions d’une variable complexe 

1.3.1 Topologie de C| 

1.3.2 S ́eries enti`eres et fonctions analytiques .

1.3.3 Fonctions holomorphes 

2 Transformation de Laplace des fonctions 

2.1 D ́efinitions et propri ́et ́es 

2.1.1 Abscisse de sommabilit ́e 

2.1.2 Holomorphie de la transform ́ee de Laplace  

2.2 Exemples de transform ́ees de Laplace de fonctions

2.3 Transform ́ee de Laplace d’une fonction d ́eriv ́ee 

2.4 Transform ́ee de Laplace des primitives d’une fonction

2.5 Transform ́ee de Laplace et translation

2.6 Transform ́ee de Laplace et convolution

2.7 Inversion de la transformation de Laplace .

2.7.1 Lien avec la transform ́ee de Fourier

2.7.2 Formule d’inversion 

3 Theorie  elementaire des distributions 

3.1 D ́efinition des distributions

3.1.1 Introduction 

3.1.2 D, espace des fonctions test 

3.1.3 D' espace des distributions 

3.2 Op ́erations sur les distributions .

3.2.1 D ́erivation 

3.2.2 Multiplication 

3.3 Topologie dans l’espace des distributions 

3.3.1 Convergence dans D′

3.3.2 Sur-ensembles de D 

3.3.3 Sous-ensembles de D′

3.4 Les distributions `a plusieurs dimensions .

3.4.1 D ́efinitions et exemples 

3.4.2 D ́erivation dans D'(IR3) 

3.4.3 Application 

4 La convolution 

4.1 Convolution des fonctions 

4.1.1 D ́efinition

4.1.2 Interpr ́etation physique 

4.1.3 Fonctions causales 

4.2 Convolution dans D

4.2.1 Produit tensoriel

4.2.2 Convolution de distributions 

4.3 R ́egularisation 

4.3.1 Continuit ́e de la convolution

4.3.2 Notions de densit ́e des ensembles 

4.4 Convolution en physique 

4.4.1 Propri ́et ́es de l’op ́erateur 

4.5 Alg`ebre de convolution

4.5.1 Equation de convolution

4.5.2 Calcul symbolique 

5 Transformation de Fourier des fonctions

5.1 D ́efinition et exemples 

5.1.1 Exemples 

5.2 Transformation de Fourier inverse

5.2.1 Probl`eme d’inversion

5.2.2 Interpr ́etation physique .

5.3 Propri ́et ́es des transform ́ees de Fourier .

5.3.1 Translation, modulation, changement d’ ́echelle 

5.3.2 D ́eriv ́ees et majorations 

5.4 Transform ́ee en cosinus et sinus .

5.5 Convolution et transformation de Fourier 

5.6 Transform ́ee de Fourier dans IR3

6 Transformation de Fourier des distributions

6.1 Introduction

6.2 L’espace de Schwartz, S 

6.2.1 Convergence dans S 

6.2.2 Propri ́et ́es des fonctions de S 

6.3 L’espace S

des distributions temp ́er ́ees 

6.3.1 Exemples de distributions temp ́er ́ees 

6.4 Transform ́ee de Fourier dans S

6.5 Transform ́ee de Fourier dans E

6.6 Convolution et transformation de Fourier 

6.7 Recherche des transform ́ees de Fourier .

6.7.1 Propri ́et ́es 

6.7.2 Exemples de transform ́ees 

6.8 Transformation de Fourier dans L2

6.8.1 L’espace L2

6.8.2 Relation de Parseval-Plancherel 

6.8.3 Transformation de Fourier dans L2(IR) 

6.8.4 Transformation de Fourier dans L2([a, b])

6.9 Transform ́ee de Fourier de distributions p ́eriodiques

6.9.1 Peigne de Dirac de p ́eriode 1 

6.9.2 Peigne de Dirac de p ́eriode T 

6.9.3 Distribution p ́eriodique r ́eguli`ere 

6.10 Transformation de Laplace de distributions 

6.10.1 D ́efinition 

6.10.2 Exemples 

6.10.3 Propri ́et ́es 

6.10.4 Application de la transformation de Laplace au calcul symbolique

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Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Auteur : J.-F. Scheid

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières.

Présentation du cours 

1 Modèles probabilistes 

1.1 Préliminaires .  

1.2 Tribu sur un ensemble . 

1.3 Mesures et probabilités . 

1.3.1 Mesure . 

1.3.2 Probabilités et événements . 

1.3.3 Propriétés élémentaires des probabilités  

1.4 Fonctions de répartition . 

2 Loi d’un vecteur aléatoire 

2.1 Remarques sur la modélisation de l’aléatoire .  

2.1.1 Cas discret . 

2.1.2 Cas continu . 

2.1.3 Principe de modélisation .  

2.2 Applications mesurables  

2.3 Loi d’une variable aléatoire . 

2.3.1 Variables aléatoires . 

2.3.2 Loi d’une variable aléatoire  

3 Moments d’un vecteur aléatoire 

3.1 Rappels sur l’intégration des applications mesurables . 

3.1.1 Intégration des fonctions positives . 

3.1.2 Intégration des fonctions numériques . 

3.1.3 Intégration des fonctions vectorielles  

3.1.4 Propriétés de l’intégrale . 

3.1.5 Espaces de Lebesgue d’ordre p .  

3.2 Théorème du transfert et moments d’une v.a.  

3.2.1 Théorème du transfert et identification de lois . 

3.2.2 Moments d’une variable aléatoire .  

3.3 Fonction caractéristique et loi d’une v.a. 

3.4 Exercices de révision sur les chapitres I à III . 

4 Indépendance stochastique 

4.1 Intégration sur R n+p

4.2 Indépendance de vecteurs aléatoires, d’événements, de tribus . 

4.2.1 Indépendance de vecteurs aléatoires . 

4.2.2 Critères d’indépendance de vecteurs aléatoires . 

4.2.3 Indépendance d’événements, de tribus . 

4.3 Tribu et événements asymptotiques .  

4.4 Somme de v.a.r. indépendantes . 

4.5 Exercices de révision sur les chapitres I à IV .  

5 Vecteurs aléatoires gaussiens 

5.1 Vecteur gaussien  

5.2 Loi d’un vecteur gaussien  

5.3 Exercices de révision sur les chapitres I à V .  

6 Lois des grands nombres et convergences de v.a.r. 

6.1 Convergence en probabilité d’une suite de v.a.r.  

6.1.1 Loi faible des grands nombres .  

6.1.2 Convergence en probabilité . 

6.2 Convergence presque-sûre d’une suite de v.a.r.  

6.2.1 Loi forte des grands nombres  

6.2.2 Convergence presque-sûre  

6.3 Convergence dans Lp(Ω, F, P) où p ∈ [1, +∞] 

6.4 Comparaison des convergences dans L 0(Ω, F, P) . 

6.5 Exercices de révision sur les chapitres I à VI . 

7 Théorème-limite central et convergence de lois 

7.1 Théorème-limite central (TLC) . 

7.1.1 Énoncé du théorème-limite central (TLC) . 

7.1.2 Cas particuliers du théorème-limite central (TLC)  

7.1.3 Correction de continuité . 

7.2 Convergence d’une suite de probabilités, convergence en loi .  

7.3 Exercices de révision sur les chapitres I à VII .  

8 Corrigés des exercices 

8.1 Corrigés des exercices du chapitre I .  

8.2 Corrigés des exercices du chapitre II . 

8.3 Corrigés des exercices du chapitre III . 

8.4 Corrigés des exercices du chapitre IV . 

8.5 Corrigés des exercices du chapitre V . 

8.6 Corrigés des exercices du chapitre VI . 

8.7 Corrigés des exercices du chapitre VII . 

A Formulaire 

A.1 Rappels de notations . 

A.2 Quelques relations à connaître en probabilités . 

A.3 Probabilités usuelles discrètes .  

A.4 Probabilités usuelles à densité .  

B Table de la loi normale standard 

B.1 Calculs avec des v.a.r. normales centrées-réduites 

B.2 Calculs avec des v.a.r. normales de paramètres quelconques . 

C Devoirs à envoyer à la correction 

C.1 Devoir 1 à renvoyer le 21 février 2014 au plus tard  

C.2 Devoir 2 à renvoyer le 28 mars 2014 au plus tard . 

C.3 Devoir 3 à renvoyer le 18 avril 2014 au plus tard  

Bibliographie. 

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Distributions Tempérées

Distributions Tempérées

Auteur : Arthur Leclaire

ENS Cachan Mathématiques
Préparation à l’agrégation Année 2017/2018

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

1 Distributions et distributions tempérées
2 Transformée de Fourier
3 Convolution
4 Exercices prioritaires
5 Exercices complémentaires 

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Théorie des distributions

Théorie des distributions

Livre gratuit sous forme pdf

Auteur : H. Boumaza

U.P.N - Sup Galilée Année scolaire 2015-2016
Formation Ingénieurs MACS / M1 Mathématiques

Table des matières

I Notions de bases 

1 Rappels de théorie de l’intégration 

1.1 Mesure de Lebesgue sur R d .

1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . 

1.1.2 Espaces mesurés et applications mesurables . 

1.2 Intégrale de Lebesgue sur R d .

1.2.1 Construction de l’intégrale de Lebesgue .

1.2.2 Théorème de convergence dominée . 

1.2.3 Intégrales à paramètre . 

1.2.4 Les espaces L p . 

1.2.5 Théorème de Fubini .

1.2.6 Théorème du changement de variable .

2 Introduction à la théorie des distributions 

2.1 Autour du Dirac . 

2.1.1 De la “définition” du Dirac .

2.1.2 Mesure de Dirac en 0 . 

2.1.3 Notion d’intégrale d’action . 

2.2 Notion de dérivée 

2.3 Le peigne de Dirac .

2.4 Le Dirac en électrostatique .

3 Fonctions test 

3.1 Notations multi-indicielles .

3.2 Formule de Taylor avec reste intégral . 

3.3 Fonctions de classe C ∞ à support compact .

3.3.1 Support d’une fonction continue 

3.3.2 Espace des fonctions test

3.3.3 Topologie de C ∞ ( Ω ) 

3.3.4 Fonctions ”pic” et ”plateau” . 

3.4 Densité par troncature et régularisation .

3.4.1 Troncature .

3.4.2 Produit de convolution 

3.4.3 Régularisation . 

3.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . 

4 Distributions sur un ouvert de R d 

4.1 Définitions 

4.1.1 Définition fonctionnelle 

4.1.2 Définition par l’ordre . 

4.1.3 Ordre d’une distribution 

4.2 Premiers exemples .

4.2.1 Distribution associée à une fonction L 1 loc

4.2.2 Distribution de Dirac.

4.2.3 Distribution de Dirac dérivée .

4.2.4 Mesures de Radon .

4.2.5 Distributions positives . 

4.2.6 La valeur principale de 1/x

4.2.7 Partie finie de x α

4.2.8 Un exemple de distribution d’ordre infini 

4.3 Convergence des suites de distributions 

5 Opérations sur les distributions 

5.1 Multiplication par une fonction C ∞.

5.2 Les équations xT = 0, xT = 1 et xT = S .

5.3 Dérivation d’une distribution 

5.4 Les équations T 0 = 0 et ∂ x i T = 0

5.5 Formule des sauts en dimension 1 .

6 Convolution des distributions 

6.1 Produit de convolution de deux distributions.

6.2 Propriétés de la convolution .

6.3 Interprétation physique de la convolution.

6.4 Comment calculer un produit de convolution.

6.4.1 Convolution de deux fonctions dans L 1

6.4.2 Convolution d’une distribution et d’une fonction dans C ∞ ( R d ) 

6.4.3 Utilisation des propriétés de la convolution 

7 Solutions élémentaires d’EDPs I 

7.1 Théorèmes d’existence .

7.1.1 Définitions et premières propriétés .

7.1.2 Existence de solutions.

7.2 Théorème de régularité .

7.3 Exemples de solutions élémentaires.

7.3.1 Problème du laplacien.

7.3.2 L’équation des ondes en dimension 1 

II Notions avancées 

8 Support d’une distribution 

8.1 Partitions de l’unité.

8.2 Restriction à un ouvert.

8.3 Support d’une distribution .

8.4 Distributions à support compact.

8.5 Distributions à support ponctuel.

9 Convolution des distributions II 

9.1 Dérivation et intégration sous le crochet .

9.2 Produit tensoriel de deux distributions .

9.3 Produit de convolution de deux distributions.

9.3.1 Définition.

9.3.2 Propriétés de base.

9.3.3 Convolution et support.

9.3.4 Convolution et translations .

9.3.5 Comment calculer un produit de convolution.

9.3.6 Généralisation aux paires convolutives.

9.4 Applications du produit tensoriel et de la convolution .

9.4.1 Théorème de densité.

9.4.2 Structure locale des distributions.

9.4.3 Le théorème du noyau de Schwartz .

10 Solutions élémentaires d’EDPs II 

10.1 Théorèmes d’existence .

10.1.1 Définition et premières propriétés.

10.1.2 Existence de solutions.

10.2 Théorème de régularité.

10.3 Exemples de solutions élémentaires.

10.3.1 Equation de la chaleur et modèle de Black-Scholes-Merton .

10.3.2 Opérateur

10.4 Support singulier d’une distribution.

11 Formule des sauts 

11.1 Formule des sauts en dimension 1 .

11.2 Formule des sauts pour un demi-espace .

11.3 Ouverts réguliers dans R d.

11.3.1 Définition.

11.3.2 Vecteur normal unitaire sortant .

11.3.3 Mesure de surface, exemples.

11.4 Formule de Stokes .

11.4.1 Formule de Stokes .

11.4.2 Intégration par parties multidimensionnelle

11.4.3 Formule de Green pour le laplacien .

11.4.4 Formule des sauts multidimensionnelle .

11.5 Applications.

11.5.1 Les relations de Rankine-Hugoniot .

11.5.2 Equation des ondes en dimension 3

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Éléments de Traitement du Signal

Éléments de Traitement du Signal

Auteur : G.Baudoin, J.-F.Bercher

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

I Table des matières 

I Transformée de Fourier et tutti quanti 

1 Premières définitions autour de la transformée de Fourier
2 Principales propriétés de la transformée de FOURIER
3 Impulsion de DIRAC 

3.1 Applications et conséquences 

3.1.1 Transformée de FOURIER d’une impulsion retardée 

3.1.2 Transformée de FOURIER d’un signal continu 

3.1.3 Transformée de FOURIER d’une exponentielle complexe 

3.1.4 Transformée de FOURIER des fonctions trigonométriques .

3.1.5 Transformée de FOURIER de la fonction Signe . 

3.1.6 Transformée de FOURIER de l’échelon unité .

3.2 Relation entre série et transformée de FOURIER . 

3.3 Relations d’incertitude pour les signaux d’énergie finie . 

4 Convolution .

4.1 Filtres et convolution .

4.2 Causalité et stabilité . 

4.3 Interprétation graphique de la convolution .

4.4 Réponse en fréquence .

4.4.1 Conséquences . 

5 Fonctions de corrélation .

5.1 Définitions et propriétés .

5.1.1 Définitions . 

5.1.2 Propriétés . 

5.2 Densités spectrale d’énergie et de puissance .

5.3 Relation corrélation-convolution . 

5.4 Filtrage .

Exercices et problèmes 

II Échantillonnage et quantification 

1 Échantillonnage .

1.1 Première démonstration du théorème de Shannon .

1.2 Seconde démonstration du théorème de Shannon . 

1.3 Rappel sur le lemme de Poisson .

2 Quantification .

2.1 Définition de la quantification .

2.2 Quantification Uniforme . 

2.3 Caractéristique de quantification .

2.4 Caractéristique de l’erreur de quantification, cas de la quantification uniforme . 

2.5 Dynamique d’un quantificateur uniforme N bits .

2.6 Quantification Non-Uniforme, quantification logarithmique . 

2.6.1 Loi de compression expansion .

2.6.2 Approximations par segments des lois de compression A et μ . 

Exercices et problèmes . 

III Transformée de Fourier discrète : TFD et TFR 

1 Transformée de Fourier Discrète : TFD .

1.1 Définition de la TFD . 

1.2 Inversion de la TFD . 

1.3 Lien entre la transformée de Fourier et la TFD . 

1.4 Comparaison entre la transformée de Fourier et la TFD . 

1.5 Fenêtres de pondération .  

1.5.1 Fenêtres rectangulaires, triangulaires et paraboliques. 

1.5.2 Fenêtres Fenêtres détruisant par addition algébrique, les lobes secondaires de

la fenêtre rectangulaire . 

1.5.3 Autres fenêtres : Gauss, Kaiser, Dolph-Chebychev .

1.6 Problèmes de visualisation de la TFD .

1.7 Propriétés de la TFD et convolution circulaire .

1.7.1 Théorème de Parseval .

1.7.2 Théorème de la convolution discrète .

1.7.3 Théorème du retard circulaire .

2 Transformée de Fourier Rapide TFR, Fast Fourier transform FFT 

2.1 FFT avec entrelacement temporel 

2.2 FFT avec entrelacement fréquentiel .  

2.3 Bit reversal . 

2.4 Formulation matricielle de l’algorithme de Cooley-Tukey . 

2.5 Autres algorithmes de FFT .  

2.6 Utilisation de la FFT pour la convolution rapide . 

2.7 Calcul de convolution par section d’une des suites  

Exercices et problèmes .  

IV Signaux aléatoires 

1 Description d’un signal aléatoire .

1.1 Description complète .

1.2 Description partielle .

1.2.1 Description à un instant .

1.2.2 Description à deux instants .

2 Propriétés fondamentales . 

2.1 Stationnarité .

2.2 Ergodisme . 

2.3 Le syndrome gaussien .

2.4 Signaux aléatoires à temps discret . 

3 Propriétés énergétiques des signaux aléatoires stationnaires de puissance moyenne finie .

3.1 Analyse dans le domaine temporel  

3.1.1 Définitions et propriétés . 

3.1.2 Notion de bruit blanc  

3.2 Transformation des fonctions aléatoires par filtrage . 

3.2.1 Rappel . 

3.2.2 Transformation de la moyenne .  

3.2.3 Théorème, ou formule des interférences . 

3.3 Analyse dans le domaine fréquentiel .

3.4 La représentation de Cramér . 

3.5 Bruit blanc à temps discret .

4 Un exemple d’application : le filtrage adapté . 

4.1 Contexte . 

4.2 Maximisation du rapport signal-à-bruit . 

4.3 Approche probabiliste . 

4.4 Notes sur le choix du signal test, signaux pseudo-aléatoires . 

Exercices et problèmes  

V Introduction au filtrage numérique 

1 Systèmes linéaires discrets invariants en temps.  

1.1 Définition .  

1.1.1 Linéarité . 

1.1.2 Invariance en temps . 

1.2 Réponse impulsionnelle . 

1.3 Relation entrée-sortie, convolution discrète . 

1.4 Réponse en fréquence . 

1.5 Réponse à une entrée fréquence pure . 

1.5.1 Relation entre les transformées de Fourier de l’entrée et de la sortie .

1.6 Fonction de transfert en z . 

1.6.1 Définition  

1.6.2 Relation entre les transformées en z de l’entrée et de la sortie d’un filtre.

2 Quelques rappels sur la transformée en z  

2.1 Domaine de convergence . 

2.2 Linéarité . 

2.3 Théorème du retard . 

2.4 Théorème de la convolution .  

2.5 Théorème de Parseval . 

2.6 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . 

2.7 Intégration et dérivation .  

2.8 Inversion de la transformée en z . 

3 Fonctions de transfert rationnelles en z, FIR, IIR  

3.1 Calcul de la réponse impulsionnelle d’un filtre RII . 

3.1.1 Rappel sur le théorème des résidus  

4 Causalité et stabilité . 

4.1 Causalité . 

4.2 Stabilité .  

4.2.1 1ere ` condition nécessaire et suffisante de stabilité  

4.2.2 2eme ` condition nécessaire et suffisante de stabilité . 

4.2.3 Stabilité des FIR  

5 Etude des filtres numériques élémentaires . 

5.1 Introduction  

5.2 Etude des zéros de transmission 

5.2.1 Cas d’une cellule d’ordre 1 . 

5.2.2 Cas d’une cellule d’ordre deux . 

5.3 Cellule FIR d’ordre un 

5.3.1 Généralités  

5.3.2 Exemple . 

5.3.3 Cellules spéciales .  

5.4 Cellule FIR d’ordre 2 . 

5.4.1 Généralités .

5.4.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence . 

5.4.3 inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) . 

5.4.4 Exemple .  

5.4.5 Changement du signe du coefficient b1, changement de z en -z . 

5.5 Cellule IIR d’ordre 1 . 

5.5.1 Généralités  

5.5.2 Exemple 

5.6 Cellule IIR d’ordre 2       

5.6.1 Généralités . . 

5.6.2 Etude des extréma du module de la fonction de transfert en fréquence  

5.6.3 Inversion du module des zéros, polynôme réciproque de H(z) . 

5.6.4 Exemple .  

5.6.5 Changement du signe du coefficient a1, changement de z en -z .  

6 Structures des filtres numériques . . 

6.1 Structures directes . 

6.2 Structures directes non canoniques . 

6.3 structures directes canoniques DN et ND . 

6.4 Structures décomposées .  

6.4.1 Structures cascade 

6.4.2 Structures parallèles  

Exercices et problèmes  

Index

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Méthodes des éléments finis

Méthodes des éléments finis

Master Modélisation et Calcul Scientique. Année 2016/2017

Auteur : Mohamed ADDAM

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Table des matières

1 Analyse fonctionnelle et Espace de Hilbert 

1.1 Espaces vectoriels normés  

1.1.1 Définitions et notations . 

1.1.2 Exemples d’espaces vectoriels normés . 

1.1.3 Espaces de Banach . 

1.1.4 Espaces L p (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) .  

1.1.5 Espace des fonctions . 

1.2 Dual d’un espace vectoriel normé . 

1.2.1 Dual de E . 

1.2.2 Bidual de E . 

1.3 Espace de Hilbert . 

1.3.1 Définitions et Propriétés élémentaires d’un espace de Hilbert .  

1.3.2 Le dual d’un espace de Hilbert . 

1.3.3 Théorème de Lax-Milgram . 

1.4 Somme Hilbertienne. Base Hilbertienne . 

1.5 Exemples d’espaces de Hilbert : espaces de Sobolev .  

1.5.1 Espaces L 2 (Ω,dx) .  

1.5.2 Espace de Sobolev W 2,1 (Ω) = H 1 (Ω)  

1.5.3 Espace de Sobolev W 2,m (Ω) = H m (Ω) 

1.5.4 Espace W(Ω) = H 1 0 (Ω) 

2 Intoduction aux équations aux dérivées partielles 

2.1 Démarche de la modélisation numérique 

2.1.1 Généralités 

2.1.2 Modèle Physique

2.1.3 Modèle Mathématique : équation stationnaire de la chaleur

2.1.4 Modèle numérique 

2.2 Classification des équations aux dérivées partielles  

2.3 Classification des conditions aux limites 

2.4 Équations stationnaires  

2.4.1 Équations stationnaires 1D 

2.4.2 Exemples d’équations aux dérivées partielles de type stationnaire : problèmes aux limites  1

2.4.3 Équation elliptique multidimensionnelle 

2.5 Équations non stationnaires ou évolutionnaires 

2.5.1 Équation de diffusion 1D 

2.5.2 Résolution Analytique de l’équation de diffusion 

2.5.3 Résolution Analytique du modèle de la barre infinie  

2.5.4 Profil d’énergie de l’équation de la chaleur 

2.6 Équations des ondes 

2.6.1 Petite histoire sur les équations aux dérivées partielles  

2.6.2 Équation des cordes vibrantes : 1D 

2.6.3 Profil d’énergie d’une corde vibrante 

2.6.4 L’équation des ondes : 2D  

2.6.5 Résolution analytique de l’équation :

2.7 Remarques sur les modèles mathématiques : Notion de problème bien posé 

2.8 Équations aux dérivées partielles et leurs applications 

3 Formulation variationnelle abstraite et Solution faible 

3.1 Formulation variationnelle

3.1.1 Exemple 1D 

3.1.2 Problèmes aux limites de type stationnaire 

3.1.3 Exemple 2D 

3.1.4 Formulation générale 

3.2 Existence et unicité de la solution  

3.2.1 Continuité 

3.2.2 Théorème de Lax-Milgram 

3.2.3 Exemple de problème variationnel 1D  

3.3 Condition inf-sup de Banach-Neca-Babuska  

3.3.1 Le problème modèle 1D  

3.4 EDP elliptiques d’ordre 2 

4 Méthodes de Galerkin et Ritz pour la résolution des EDPs. 

4.1 Principes généraux

4.1.1 Point de vue discret : Condition inf-sup 

4.1.2 Interprétation de u h 

4.2 Approximation selon la méthode de Ritz 

4.3 Exemples d’applications 

4.3.1 Exemple d’application en 1D : conditions de Dirichlet-Neumann 

4.3.2 Exemple d’application en 1D : conditions de Robin 

4.3.3 Exemple d’application en 2D 

5 Méthode des éléments finis et Approximation polynomiale.

5.1 Introduction et définitions

5.2 Unisolvance : Ensembles unisolvants, interpolation

5.3 Approximation interne générale 

5.4 Elément fini de Lagrange . 

5.5 Interpolation par éléments finis 

5.5.1 Interpolation en une dimension d’espace 

5.5.2 Maillage en 1D . 

5.5.3 Elément fini P 1 : Exemple introductif .

5.6 Eléments finis en dimension 1 

5.6.1 EDP et formulation variationnelle

5.6.2 Espace d’approximation et solution approchée 

5.6.3 Problème de Dirichlet (5.7) dans la pratique 

6 Estimation d’erreurs et Estimateurs d’erreurs. 

6.1 Erreur absolue et Lemme de Céa 

6.2 Méthode de Galerkin et Méthode des éléments finis 

6.2.1 Méthode de Galerkin 

6.2.2 Méthode des éléments finis 

6.3 Convergence et estimation d’erreur

7 Estimateurs Problèmes non-stationnaires. 

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Volumes Finis

Méthodes numériques avancées pour la résolution des EDP

Auteur : J.-F. Scheid

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

1 Equations elliptiques 

1.1 Introduction 

1.2 Quelques rappels sur les solutions d’équations elliptiques linéaires 

1.2.1 Existence, unicité et régularité des solutions

1.2.2 Principes du maximum

1.3 Volumes Finis pour les problèmes elliptiques 1D 

1.3.1 Maillage

1.3.2 Formulation en Volumes Finis

1.3.3 Système linéaire

1.3.4 Convergence 

1.3.5 Equation elliptique 1D à coefficients discontinus

1.4 Volumes Finis pour les problèmes elliptiques 2D 

1.4.1 Maillage

1.4.2 Formulation en Volumes Finis

1.4.3 Exemples de maillages admissibles 

1.4.4 Système linéaire 

1.4.5 Estimations d’erreurs 

1.4.6 Equation elliptique 2D avec coefficients discontinus 

2 Equations paraboliques 

2.1 Introduction 

2.1.1 Existence et unicité des solutions 

2.1.2 Principes du maximum 

2.2 Volumes Finis pour l’équation de la chaleur en dimension 1 d’espace

2.2.1 Schéma d’Euler explicite 

2.2.2 Schéma d’Euler implicite 

2.3 Equation de la chaleur en 2D d’espace et Volumes Finis .

2.3.1 Discrétisation en espace 

2.3.2 Schéma explicite en temps 

2.3.3 Schéma implicite en temps 

3 Equation de transport 

3.1 Introduction 

3.2 Maillage 

3.3 Formulation en Volumes Finis 

3.4 Système linéaire 

3.5 Condition de stabilité 

4 Equations de Stokes 

4.1 Introduction

4.2 Maillages 

4.3 Formulation en Volumes Finis .

4.3.1 Approximation de la divergence 

4.3.2 Approximation de l’équation de Stokes

5 Equations de Navier-Stokes incompressibles 

5.1 Introduction 

5.2 Semi-discrétisation en temps 

5.3 Formulations en Volumes Finis 

Appendices 

A Modélisation des équations de Navier-Stokes et équations de Stokes 

A.1 Introduction

A.2 Conservation de la masse

A.3 Loi fondamentale de la dynamique - loi de comportement 

A.4 Conservation du volume 

A.5 Adimensionalisation des équations de Navier-Stokes 

A.6 Réductions des équations 

B Eléments d’analyse matricielle. 

B.1 Matrice réductible 

B.2 Matrice à diagonale dominante 

B.3 Matrice monotone

B.4 Localisation des valeurs propres

C Quelques inégalités. 

C.1 Inégalité de Cauchy-Schwarz 

C.2 Inégalité de Young 

C.3 Inégalité de Gronwall

C.4 Inégalité de Gronwall discrète 

Références 

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Traitement numérique du signal

Traitement numérique du signal

Théorie et pratique

Auteur : Maurice Bellanger

Livre gratuit sous forme pdf

TABLE DES MATIÈRES

PRÉFACE V

AVANT-PROPOS XIII

INTRODUCTION 

CHAPITRE 1 • LA NUMÉRISATION DU SIGNAL. ÉCHANTILLONNAGE ET CODAGE 

1.1 L’analyse de Fourier 

1.2 Les distributions 

1.3 Les principaux signaux traités 

1.4 Normes d’une fonction 

1.5 L’opération d'échantillonnage 

1.6 L’échantillonnage en fréquence 

1.7 Le théorème de l’échantillonnage 

1.8 Échantillonnage de signaux sinusoïdaux et de signaux aléatoires 

1.9 L’opération de quantification 

Annexe 1 : La fonction I(x) 

Annexe 2 : La loi Normale Réduite 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 2 • LA TRANSFORMATION DE FOURIER DISCRÈTE 

2.1 Définition et propriétés de la TFD 

2.2 La transformation de fourier rapide 

2.3 Dégradations dues aux limitations dans le calcul 

2.4 calcul de spectre par TFD 

La convolution rapide 

2.6 Calcul d’une TFD par convolution 

2.7 Réalisation 

Exercices 

CHAPITRE 3 • AUTRES ALGORITHMES DE CALCUL RAPIDE DE LA TFR 

3.1 Le produit de Kronecker des matrices 

3.2 Factorisation de la matrice de l’algorithme d’entrelacement fréquentiel 

3.3 Les transformées partielles 

3.4 Transformée avec recouvrement 

3.5 Autres algorithmes de calcul rapide 

3.6 Transformée de Fourier binaire – Hadamard 

3.7 Les transformations algébriques 

Exercices 

CHAPITRE 4 • LES SYSTÈMES LINÉAIRES DISCRETS INVARIANTS DANS LE TEMPS 

4.1 Définition et propriétés 

4.2 La transformation en Z 

4.3 Énergie et puissance des signaux discrets 

4.4 Filtrage des signaux aléatoires 

4.5 Systèmes définis par une équation aux différences 

4.6 Analyse par les variables d’état 

Exercices 

CHAPITRE 5 • LES FILTRES À RÉPONSE IMPULSIONNELLE FINIE (RIF) 

5.1 Présentation des filtres RIF 

5.2 Fonctions de transfert réalisables et filtres à phase linéaire 

5.3 Calcul des coefficients par développement en série de Fourier 

5.4 Calcul des coefficients par la méthode des moindres carrés 

5.5 Calcul des coefficients par TFD 

5.6 Calcul des coefficients par approximation de Tchebycheff 

5.7 Relations entre nombre de coefficients et gabarit de filtre 

5.8 Filtre à transition en cosinus surélevé et cosinus– Filtre de Nyquist – Filtre demi-bande 

5.9 Structures pour la réalisation des filtres RIF 

5.10 Limitations du nombre de bits des coefficients 

5.12 Fonction de transfert en z d’un filtre RIF 

5.13 Filtres à déphasage minimal 

5.14 Calcul des filtres à très grand nombre de coefficients 

5.15 Filtres RIF à deux dimensions 

5.16 Calcul des coefficients de filtres TIF-2d par la méthode des moindres carrés 

Exercices 

CHAPITRE 6 • CELLULES DE FILTRES À RÉPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) 

6.1 La cellule élémentaire du premier ordre 

6.2 La cellule du second ordre purement récursive

6.3 Cellule du second ordre générale 

6.4 Structures pour la réalisation 

6.5 Limitations du nombre de bits des coefficients 

6.6 Limitation du nombre de bits des mémoires de données 

6.7 Stabilité et auto-oscillations 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 7 • LES FILTRES À RÉPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) 

7.1 Expressions générales pour les caractéristiques 

7.2 Calcul direct des coefficients par les fonctions modèles 

7.3 techniques itératives pour le calcul des filtres RII 

7.4 Filtres basés sur les fonctions sphéroïdales 

7.5 Les structures représentant la fonction de transfert 

7.6 Limitation du nombre de bits des coefficients 

7.7 Nombre de bits des coefficients en structure cascade 

7.8 Bruit de calcul 

7.9 Détermination de la capacité des mémoires internes 

7.10 Auto-oscillations 

7.11 Comparaison entre les filtres RII et RIF 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 8 • LES STRUCTURES DE FILTRES EN CHAÎNE 

8.1 Propriétés des quadripôles 

8.2 Les filtres en échelle simulée 

8.3 Les dispositifs à commutation de capacités (DCC) 

8.4 Les filtres d’onde 

8.5 Les filtres en treillis 

8.6 Éléments de comparaison 

Bibliographie

CHAPITRE 9 • SIGNAUX COMPLEXES FILTRES DE QUADRATURE 

9.1 Transformée de Fourier d'une suite réelle et causale 

9.2 Signal analytique 

9.3 Calcul des coefficients d’un filtre de quadrature RIF 

9.4 Déphaseurs À 90° de type récursif 

9.5 Modulation À bande latérale unique 

9.6 Les filtres à déphasage minimal 

9.7 Filtre différentiateur 

9.8 Interpolation par filtre RIF 

9.9 Interpolation de Lagrange 

9.10 Interpolation par bloc – SPlines 

9.11 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 10 • LE FILTRAGE MULTICADENCE 

10.1 Sous-échantillonnage et transformée en Z 

10.2 Décomposition d’un filtre RIF passe-bas 

10.3 Le filtre RIF demi-bande 

10.4 Décomposition avec filtres demi-bande 

10.5 Filtrage par réseau polyphasé 

10.6 Filtrage multicadence à éléments RII 

10.7 Banc de filtres par réseau polyphasé et TFD 

10.8 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 11 • FILTRES QMF ET ONDELETTES 

11.1 Décomposition en deux sous-bandes et reconstitution

11.2 Filtres QMF 

11.3 Décomposition et reconstitution parfaite 

11.4 Ondelettes 

11.5 Structure en treillis 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 12 • BANCS DE FILTRES 

12.1 Décomposition et reconstitution 

12.2 Analyse des éléments du réseau polyphasé 

12.3 Calcul des fonctions inverses 

12.4 Bancs de filtres pseudo-QMF 

12.5 Calcul des coefficients du filtre prototype 

CHAPITRE 13 • ANALYSE ET MODÉLISATION 

13.1 Autocorrélation et intercorrélation 

13.2 Analyse spectrale par corrélogramme 

13.3 Matrice d’autocorrélation 

13.4 Modélisation 

13.5 Prédiction linéaire 

13.6 Structures de prédicteur 

13.7 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 14 • FILTRAGE ADAPTATIF 

14.1 Principe du filtrage adaptatif par algorithme du gradient 

14.2 Conditions de convergence 

14.3 Constante de temps 

14.4 Erreur résiduelle 

14.5 Paramètres de complexité 

14.6 Algorithmes normalisés et algorithmes du signe 

14.7 Filtrage RIF adaptatif en structure cascade 

14.8 Filtrage adaptatif RII 

14.9 Conclusion 

Bibliographie 

Exercices 

CHAPITRE 15 • APPLICATIONS 

15.1 Détection d’une fréquence 

15.2 Boucle à verrouillage de phase 

15.3 Codage Mic-Différentiel 

15.4 Codage du son 

15.5 Annulation d’écho 

15.6 Traitement des images de télévision 

15.7 Transmission Multiporteuse – OFDM 

CONTENTS

CHAPTER 1 • Signal Digitization – Sampling and Coding

CHAPTER 2 • Discrete Fourier Transform and FFT algorithms

CHAPTER 3 • Other Fast Algorithms for the DFT

CHAPTER 4 • Time Invariant Discrete Linear Systems  

CHAPTER 5 • Finite Impulse Response Filters (FIR) 

CHAPTER 6 • Infinite Impulse Response Filter Sections  

CHAPTER 7 • Infinite Impulse Response Filters (IIR) 

CHAPTER 8 • Two-Port Filter Structures  

CHAPTER 9 • Complex Signals – Quadrature Filters  

CHAPTER 10 • Multirate Filtering 

CHAPTER 11 • QMF filters and wavelets . 

CHAPTER 12 • Filter banks 

CHAPTER 13 • Signal analysis and modeling  

CHAPTER 14 • Adaptive filters

CHAPTER 15 • Applications 

EXERCISES : Hints and answers

INDEX

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Probabilité

Probabilité

Collection dirigée par Daniel Guin

Auteur : Philippe Barbe et Michel Ledoux

Livre gratuit sous forme pdf

TABLE DES MATIÈRES

Préface 

I Théorie de la mesure 

I.1 Algèbre, tribu . 

I.2 Ensembles de fonctions mesurables  

I.3 Classes monotones 

I.4 Mesures 

II Intégration 

II.1 Intégrale de fonctions positives . 

II.2 Intégrale de fonctions quelconques et théorèmes de convergence 

II.3 Théorème de Radon-Nikodym . 

II.4 Intégration par rapport à une mesure image . 

II.5 Théorèmes de Fubini-Tonelli  

II.6 Espaces Lp  

III Mesures de probabilité 

III.1 Définition et exemples . 

III.2 Fonctions de répartition . 

III.3 Vecteurs aléatoires . 

III.4 Moyennes et inégalités . 

III.5 Fonctions caractéristiques . 

IV Indépendance 

IV.1 Indépendance . 

IV.2 Sommes de variables aléatoires indépendantes . 

IV.3 Applications de l’indépendance .  

IV.4 Vecteurs aléatoires gaussiens et lois gaussiennes . 

V Convergence de suites de variables aléatoires 

V.1 Convergence presque sûre . 

V.2 Convergence en probabilité .  

V.3 Convergence dans Lp . 

V.4 Convergence en loi  

V.5 Les lois faible et forte des grands nombres, le théorème limite central . 

VI Probabilités et espérances conditionnelles 

VI.1 Conditionnement discret .  

VI.2 Conditionnement (général) . 

VI.3 Lois conditionnelles  

VI.4 Espérances conditionnelles dans les espaces gaussiens . 

VII Martingales (à temps discret)  

VII.1 Généralités . 

VII.2 Théorèmes de convergence  

VII.3 Application à la loi des grands nombres  

VIII Chaînes de Markov (à espace d’états dénombrable)  

VIII.1 La propriété de Markov 

VIII.2 Calcul des lois marginales 

VIII.3 Généralisation de la propriété de Markov  

VIII.4 Comportement asymptotique. Mesures invariantes  

VIII.5 Récurrence et transience . 

VIII.6 Comportement asymptotique d’une chaîne de Markov . 

Bibliographie 

Appendice : Lois de probabilités usuelles 

Index terminologique 2

Index des notations

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Notes de cours Traitement du signal

Notes de cours Traitement du signal

24 octobre 2017

Auteur : G. Dauphin

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

1 Description d’un signal : Cours

1.1 Classification discret/continu . 

1.2 Signaux périodiques . 

1.3 Quantification .  

1.4 Quelques transformations simples de signaux et leur visualisation .  

1.5 Dirac  

1.6 Quelques signaux . 

2 Echantillonnage d’un signal : Cours B 7

2.1 Echantillonnage . 

2.2 Critère de Shannon-Nyquist . 

2.3 Chaîne de mesure  

2.4 Puissance et énergie . 

3 Transformées de Fourier des signaux temps continu : Cours C 

3.1 Signaux périodiques/signaux à durée limitée . 

3.2 Série de Fourier . 

3.3 Propriétés de la série de Fourier . 

3.4 Transformée de Fourier à temps continu (TFTC) .  

3.5 Propriétés de la transformée de Fourier .  

3.5.1 Propriétés similaires à celles des séries de Fourier . 

3.5.2 Propriétés supplémentaires .  

3.5.3 Exemples de transformées de Fourier . 

4 Transformées de Fourier des signaux temps discret : Cours D 

4.1 Transformée de Fourier à temps discret (TFTD)  

4.2 Propriétés de la transformée de Fourier à temps discret . 

4.3 Transformée de Fourier discrète (TFD) . 

4.4 Propriétés de la transformée de Fourier discrète . 

4.5 Exemples de transformées de Fourier discrète de signaux . 

4.6 Notation matricielle . 

4.7 Bourrage de zéros . 

5 Repliement de spectre, filtres : Cours E 

5.1 Filtre analogique et réponse fréquentielle . 

5.2 Filtre numérique et réponse fréquentielle . 

5.3 Repliement de spectre . 

5.4 Critère de Shannon-Nyquist . 

5.5 Interpolation et reconstruction d’un signal .  

5.6 Sous-échantillonnage .  

5.7 Sur-échantillonnage . 

6 Filtres et descripteurs de signaux : Cours EBis 

6.1 Filtres analgoqiques et produit de convolution en temps continu .

6.2 Filtres numériques et produit de convolution en temps discret  

6.3 Intercorrélation, autocorrélation et densité spectrale .  

6.3.1 Signaux temps continu non-périodiques .  

6.3.2 Signaux temps discret non-périodiques . 

6.3.3 Signaux temps discret périodiques . 

7 Fonctions de transfert : Cours 1F 

7.1 Définition de la transformée de Laplace . 

7.2 Propriétés de la transformée de Laplace  

7.3 Filtre analogique, causalité et fonction de transfert  

7.4 Critère de stabilité des filtres analogiques .  

7.5 Filtres analogiques à phase linéaire . 

7.6 Filtres analogiques à phase minimale . 

8 Descripteurs de signaux et de filtres : cours 2F 

8.1 Transformée en Z  

8.2 Propriétés de la transformée en Z  

8.3 Filtre numérique, causalité et fonction de transfert . 

8.4 Critère de stabilité des filtres numériques .  

8.5 Filtres numériques à phase linéaire .  

8.6 Filtres numériques à phase minimale . 

9 Synthèse de filtres numériques à réponse impulsionnelle finie : Cours G 

9.1 Filtres idéaux .  

9.2 Synthèse d’un filtre numérique . 

9.3 Utilisation des fenêtres . 

9.4 Méthode de l’invariant impulsionnel . 

9.5 Application aux signaux aléatoires .  

9.5.1 Généralités .  

9.5.2 Application au débruitage d’un signal  

10 Synthèse de filtres à réponses impulsionnelles infinies : Cours H 

10.1 Définition d’un filtre de Butterworth . 

10.2 Synthèse d’un filtre analogique par un filtre de Butterworth . 

10.3 Transformée Bilinéaire .  

10.4 Synthèse d’un filtre numérique par un filtre de Butterworth 

10.5 Synthèse avec d’autres filtres .  

A Justification des égalités de Parseval 

A.1 Cas d’un signal temps continu non-périodique  

A.2 Cas d’un signal temps continu et périodique . 

A.3 Cas d’un signal temps discret non-périodique . 

A.4 Cas d’un signal temps discret périodique  

B Exemple de calculs 

B.1 Calcul de la transformée de Laplace inverse de H(p) = p−1/ (p+1)^2 

B.2 Calcul de la transformée en Z inverse de H(z) = 1−z−1/(1+z−1)^2

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Élément de distributions et d'éqautions aux dérivées partielles

Élément de distributions et, d'éqautions aux dérivées partielles

Cours et problèmes résolus

Auteur : Claude Zuily

Livre gratuit sous forme pdf

CHAPITRE 1 • ESPACES DE FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

1. Les espaces Ck(í2)

1.1. Notations

1.2. Formule de Leibniz

1.3. Topologie des espaces Ck(í2)

1.4. Une propriété de C00 (í2)

2. Les espaces C~(í2), OS: k S: +oo

2.1. Support d'une fonction continue

2.2. Les espaces C~(í2)

2.3. Topologie des espaces C~(í2)

2.4. Construction de fonctions plateaux

2.5. Partition de l'unité

3. Théoremes de densité

3.1. Troncature

3.2. Régularisation

4. Formule de Taylor avec reste intégral

CHAPITRE 2 • LES DISTRIBUTIONS

1. Définition des distributions

2. Ordre d'une distribution

3. Exemples

4. Support d'une distribution

5. Distributions à support compact

6. Un lemme utile

CHAPITRE 3 • OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS

1. Multiplication par une fonction C00

2. Dérivation des distributions

2.1. Propriétés et remarques

2.2. Exemples

2.3. Formule des sauts à une variable

2.4. Formules de Gauss et Green

2.5. Distributions homogenes

2.6. Distributions indépendantes d'une variable

2. 7. Solutions élémentaires

CHAPITRE 4 • CONVERGENCE DES SUITES DE DISTRIBUTIONS

l. Convergence dans V'(D)

2. Le théoreme de Banach-Steinhaus

3. Application: !'espace Ck(I, V'(í2))

4. Remarques

CHAPITRE 5 • PRODUIT TENSORIEL DES DISTRIBUTIONS

CHAPITRE 6 • CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS

1. Convolution de deux distributions

2. Théoremes de densité

3. Support singulier d'une distribution

4. Utilisation des solutions élémentaires

4.1. Opérateurs hypoelliptiques

4.2. Existence de solutions

4.3. Structure locale des distributions

5. Retour sur les espaces Ck(J, V'(!1))

6. Généralisation

CHAPITRE 7 • IMAGE D'UNE DISTRIBUTION

1. Cas ou f est un difféomorphisme C00 de !11 sur D2

2. Généralisation au cas ou f' (x) est surjective

CHAPITRE 8 • PROBLEME DE DIRICHLET POUR LE

LAPLACIEN

1. Les espaces de Sobolev

1.1. Propriétés des espaces de Sobolev

1.2. Le dual de H0 (!1)

1.3. L'inégalité de Poincaré

1.4. Compacité

2. Probleme de Dirichlet pour le Laplacien

CHAPITRE 9 • L'ÉQU ATION DES ONDES DANS IRt x IR~

1. Solution élémei1taire de D dans !Ri x IR~

2. Le probleme de Cauchy dans ]O, +oo[ x IR3

2.1. Le probleme homogcne

2.2. Propriétés de la solution

2.3. Le probleme inhomogene

2.4. Unicité de la solution

CHAPITRE 10 • LA TRANSFORMATION DE FOURIER

1. L'espace S(!Rn). La transformation de Fourier dans S(!Rn)

1.1. L'espace de Schwartz S(!Rn)

1.2. La transformation de Fourier

2. Propriétés de la transformation de Fourier dans S

3. L'espace S' et la transformation de Fourier dans S'

3.1. L'espace S'

3.2. Transformation de Fourier dans S'

3.3. Propriétés de la transformation de Fourier dans S'

4. Transformée de Fourier des distributions à support compact

5. Transformation de Fourier dans L1 et L2

6. Transformation de Fourier et convolution

7. Transformation de Fourier partielle et applications

7.1. Application à la recherche de solutions élémentaires

8. Le théoreme de Palais-Wiener-Schwartz

8.1. Le cas des fonctions

8.2. Le cas des distributions

8.3. Application

9. La méthode de la phase stationnaire

CHAPITRE 11 • LES ESPACES DE SOBOLEV

1. Les espaces H s (IR n)

1.1. Définition

1.2. Densité des fonctions régulieres

1.3. Opérations sur H 8 (Rn)

1.4. Structure locale des distributions

1.5. Dualité

1.6. Compacité

1.7. Traces

2. Les espaces Hk(JR+)

2.1. Densité des fonctions régulieres

2.2. Prolongement à Rn

2.3. Régularité et compacité

2.4. Traces

2.5. Caractérisation de HJ (JR'.D

3. Les espaces Hk(D.)

4. Retour sur le probleme de Dirichlet pour le Laplacien

4.1. Probleme de Dirichlet non homogene

4.2. Régularité d'ordre supérieur

CHAPITRE 12 • L'ÉQUATION DE SCHRÕDINGER DANS R x Rn

1. Le probleme de Cauchy

1.1. Donnée dans S'(Rn)

1.2. Donnée dans S(Rn)

1.3. Donnée dans H 8 (Rn)

1.4. Forme de la solution

1.5. Décroissance à l'infini de la solution 157

CHAPITRE 13 • THÉORIE SPECTRALE DU PROBLEME DE DIRICHLET POUR LE LAPLACIEN

1. Théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints, compacts

1.1. Spectre

1.2. Adjoint

1.3. Opérateurs positifs

1.4. Opérateurs compacts

2. Application à la théorÍe spectrale du Laplacien

3. Application au probleme mixte

3.1. L'équation de la chaleur

3.2. L 'équation des ondes

4. La formule de Weyl

4.1. Étude du noyau de la chaleur

4.2. Comparaison de p et k

CHAPITRE 14 • PROBLEMES

1. Énoncés

2. Solutions

BIBLIOGRAPHIE

NOTATIONS

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[Zuily,_C.]_Éléments_De_Distribution_Et_D’Équ(b-ok.org).pdf