Analyse Harmonique et Distributions

Analyse Harmonique et Distributions

Auteur : Philippe Barbe et Michel Ledoux

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matieres

1 Preliminaires 

1.1 Espaces fonctionnels 

1.2 Th ́eor`emes d’int ́egration 

1.3 Fonctions d’une variable complexe 

1.3.1 Topologie de C| 

1.3.2 S ́eries enti`eres et fonctions analytiques .

1.3.3 Fonctions holomorphes 

2 Transformation de Laplace des fonctions 

2.1 D ́efinitions et propri ́et ́es 

2.1.1 Abscisse de sommabilit ́e 

2.1.2 Holomorphie de la transform ́ee de Laplace  

2.2 Exemples de transform ́ees de Laplace de fonctions

2.3 Transform ́ee de Laplace d’une fonction d ́eriv ́ee 

2.4 Transform ́ee de Laplace des primitives d’une fonction

2.5 Transform ́ee de Laplace et translation

2.6 Transform ́ee de Laplace et convolution

2.7 Inversion de la transformation de Laplace .

2.7.1 Lien avec la transform ́ee de Fourier

2.7.2 Formule d’inversion 

3 Theorie  elementaire des distributions 

3.1 D ́efinition des distributions

3.1.1 Introduction 

3.1.2 D, espace des fonctions test 

3.1.3 D' espace des distributions 

3.2 Op ́erations sur les distributions .

3.2.1 D ́erivation 

3.2.2 Multiplication 

3.3 Topologie dans l’espace des distributions 

3.3.1 Convergence dans D′

3.3.2 Sur-ensembles de D 

3.3.3 Sous-ensembles de D′

3.4 Les distributions `a plusieurs dimensions .

3.4.1 D ́efinitions et exemples 

3.4.2 D ́erivation dans D'(IR3) 

3.4.3 Application 

4 La convolution 

4.1 Convolution des fonctions 

4.1.1 D ́efinition

4.1.2 Interpr ́etation physique 

4.1.3 Fonctions causales 

4.2 Convolution dans D

4.2.1 Produit tensoriel

4.2.2 Convolution de distributions 

4.3 R ́egularisation 

4.3.1 Continuit ́e de la convolution

4.3.2 Notions de densit ́e des ensembles 

4.4 Convolution en physique 

4.4.1 Propri ́et ́es de l’op ́erateur 

4.5 Alg`ebre de convolution

4.5.1 Equation de convolution

4.5.2 Calcul symbolique 

5 Transformation de Fourier des fonctions

5.1 D ́efinition et exemples 

5.1.1 Exemples 

5.2 Transformation de Fourier inverse

5.2.1 Probl`eme d’inversion

5.2.2 Interpr ́etation physique .

5.3 Propri ́et ́es des transform ́ees de Fourier .

5.3.1 Translation, modulation, changement d’ ́echelle 

5.3.2 D ́eriv ́ees et majorations 

5.4 Transform ́ee en cosinus et sinus .

5.5 Convolution et transformation de Fourier 

5.6 Transform ́ee de Fourier dans IR3

6 Transformation de Fourier des distributions

6.1 Introduction

6.2 L’espace de Schwartz, S 

6.2.1 Convergence dans S 

6.2.2 Propri ́et ́es des fonctions de S 

6.3 L’espace S

des distributions temp ́er ́ees 

6.3.1 Exemples de distributions temp ́er ́ees 

6.4 Transform ́ee de Fourier dans S

6.5 Transform ́ee de Fourier dans E

6.6 Convolution et transformation de Fourier 

6.7 Recherche des transform ́ees de Fourier .

6.7.1 Propri ́et ́es 

6.7.2 Exemples de transform ́ees 

6.8 Transformation de Fourier dans L2

6.8.1 L’espace L2

6.8.2 Relation de Parseval-Plancherel 

6.8.3 Transformation de Fourier dans L2(IR) 

6.8.4 Transformation de Fourier dans L2([a, b])

6.9 Transform ́ee de Fourier de distributions p ́eriodiques

6.9.1 Peigne de Dirac de p ́eriode 1 

6.9.2 Peigne de Dirac de p ́eriode T 

6.9.3 Distribution p ́eriodique r ́eguli`ere 

6.10 Transformation de Laplace de distributions 

6.10.1 D ́efinition 

6.10.2 Exemples 

6.10.3 Propri ́et ́es 

6.10.4 Application de la transformation de Laplace au calcul symbolique

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Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Auteur : J.-F. Scheid

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières.

Présentation du cours 

1 Modèles probabilistes 

1.1 Préliminaires .  

1.2 Tribu sur un ensemble . 

1.3 Mesures et probabilités . 

1.3.1 Mesure . 

1.3.2 Probabilités et événements . 

1.3.3 Propriétés élémentaires des probabilités  

1.4 Fonctions de répartition . 

2 Loi d’un vecteur aléatoire 

2.1 Remarques sur la modélisation de l’aléatoire .  

2.1.1 Cas discret . 

2.1.2 Cas continu . 

2.1.3 Principe de modélisation .  

2.2 Applications mesurables  

2.3 Loi d’une variable aléatoire . 

2.3.1 Variables aléatoires . 

2.3.2 Loi d’une variable aléatoire  

3 Moments d’un vecteur aléatoire 

3.1 Rappels sur l’intégration des applications mesurables . 

3.1.1 Intégration des fonctions positives . 

3.1.2 Intégration des fonctions numériques . 

3.1.3 Intégration des fonctions vectorielles  

3.1.4 Propriétés de l’intégrale . 

3.1.5 Espaces de Lebesgue d’ordre p .  

3.2 Théorème du transfert et moments d’une v.a.  

3.2.1 Théorème du transfert et identification de lois . 

3.2.2 Moments d’une variable aléatoire .  

3.3 Fonction caractéristique et loi d’une v.a. 

3.4 Exercices de révision sur les chapitres I à III . 

4 Indépendance stochastique 

4.1 Intégration sur R n+p

4.2 Indépendance de vecteurs aléatoires, d’événements, de tribus . 

4.2.1 Indépendance de vecteurs aléatoires . 

4.2.2 Critères d’indépendance de vecteurs aléatoires . 

4.2.3 Indépendance d’événements, de tribus . 

4.3 Tribu et événements asymptotiques .  

4.4 Somme de v.a.r. indépendantes . 

4.5 Exercices de révision sur les chapitres I à IV .  

5 Vecteurs aléatoires gaussiens 

5.1 Vecteur gaussien  

5.2 Loi d’un vecteur gaussien  

5.3 Exercices de révision sur les chapitres I à V .  

6 Lois des grands nombres et convergences de v.a.r. 

6.1 Convergence en probabilité d’une suite de v.a.r.  

6.1.1 Loi faible des grands nombres .  

6.1.2 Convergence en probabilité . 

6.2 Convergence presque-sûre d’une suite de v.a.r.  

6.2.1 Loi forte des grands nombres  

6.2.2 Convergence presque-sûre  

6.3 Convergence dans Lp(Ω, F, P) où p ∈ [1, +∞] 

6.4 Comparaison des convergences dans L 0(Ω, F, P) . 

6.5 Exercices de révision sur les chapitres I à VI . 

7 Théorème-limite central et convergence de lois 

7.1 Théorème-limite central (TLC) . 

7.1.1 Énoncé du théorème-limite central (TLC) . 

7.1.2 Cas particuliers du théorème-limite central (TLC)  

7.1.3 Correction de continuité . 

7.2 Convergence d’une suite de probabilités, convergence en loi .  

7.3 Exercices de révision sur les chapitres I à VII .  

8 Corrigés des exercices 

8.1 Corrigés des exercices du chapitre I .  

8.2 Corrigés des exercices du chapitre II . 

8.3 Corrigés des exercices du chapitre III . 

8.4 Corrigés des exercices du chapitre IV . 

8.5 Corrigés des exercices du chapitre V . 

8.6 Corrigés des exercices du chapitre VI . 

8.7 Corrigés des exercices du chapitre VII . 

A Formulaire 

A.1 Rappels de notations . 

A.2 Quelques relations à connaître en probabilités . 

A.3 Probabilités usuelles discrètes .  

A.4 Probabilités usuelles à densité .  

B Table de la loi normale standard 

B.1 Calculs avec des v.a.r. normales centrées-réduites 

B.2 Calculs avec des v.a.r. normales de paramètres quelconques . 

C Devoirs à envoyer à la correction 

C.1 Devoir 1 à renvoyer le 21 février 2014 au plus tard  

C.2 Devoir 2 à renvoyer le 28 mars 2014 au plus tard . 

C.3 Devoir 3 à renvoyer le 18 avril 2014 au plus tard  

Bibliographie. 

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Distributions Tempérées

Distributions Tempérées

Auteur : Arthur Leclaire

ENS Cachan Mathématiques
Préparation à l’agrégation Année 2017/2018

Livre gratuit sous forme pdf

Table des matières

1 Distributions et distributions tempérées
2 Transformée de Fourier
3 Convolution
4 Exercices prioritaires
5 Exercices complémentaires 

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Théorie des distributions

Théorie des distributions

Livre gratuit sous forme pdf

Auteur : H. Boumaza

U.P.N - Sup Galilée Année scolaire 2015-2016
Formation Ingénieurs MACS / M1 Mathématiques

Table des matières

I Notions de bases 

1 Rappels de théorie de l’intégration 

1.1 Mesure de Lebesgue sur R d .

1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . 

1.1.2 Espaces mesurés et applications mesurables . 

1.2 Intégrale de Lebesgue sur R d .

1.2.1 Construction de l’intégrale de Lebesgue .

1.2.2 Théorème de convergence dominée . 

1.2.3 Intégrales à paramètre . 

1.2.4 Les espaces L p . 

1.2.5 Théorème de Fubini .

1.2.6 Théorème du changement de variable .

2 Introduction à la théorie des distributions 

2.1 Autour du Dirac . 

2.1.1 De la “définition” du Dirac .

2.1.2 Mesure de Dirac en 0 . 

2.1.3 Notion d’intégrale d’action . 

2.2 Notion de dérivée 

2.3 Le peigne de Dirac .

2.4 Le Dirac en électrostatique .

3 Fonctions test 

3.1 Notations multi-indicielles .

3.2 Formule de Taylor avec reste intégral . 

3.3 Fonctions de classe C ∞ à support compact .

3.3.1 Support d’une fonction continue 

3.3.2 Espace des fonctions test

3.3.3 Topologie de C ∞ ( Ω ) 

3.3.4 Fonctions ”pic” et ”plateau” . 

3.4 Densité par troncature et régularisation .

3.4.1 Troncature .

3.4.2 Produit de convolution 

3.4.3 Régularisation . 

3.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . 

4 Distributions sur un ouvert de R d 

4.1 Définitions 

4.1.1 Définition fonctionnelle 

4.1.2 Définition par l’ordre . 

4.1.3 Ordre d’une distribution 

4.2 Premiers exemples .

4.2.1 Distribution associée à une fonction L 1 loc

4.2.2 Distribution de Dirac.

4.2.3 Distribution de Dirac dérivée .

4.2.4 Mesures de Radon .

4.2.5 Distributions positives . 

4.2.6 La valeur principale de 1/x

4.2.7 Partie finie de x α

4.2.8 Un exemple de distribution d’ordre infini 

4.3 Convergence des suites de distributions 

5 Opérations sur les distributions 

5.1 Multiplication par une fonction C ∞.

5.2 Les équations xT = 0, xT = 1 et xT = S .

5.3 Dérivation d’une distribution 

5.4 Les équations T 0 = 0 et ∂ x i T = 0

5.5 Formule des sauts en dimension 1 .

6 Convolution des distributions 

6.1 Produit de convolution de deux distributions.

6.2 Propriétés de la convolution .

6.3 Interprétation physique de la convolution.

6.4 Comment calculer un produit de convolution.

6.4.1 Convolution de deux fonctions dans L 1

6.4.2 Convolution d’une distribution et d’une fonction dans C ∞ ( R d ) 

6.4.3 Utilisation des propriétés de la convolution 

7 Solutions élémentaires d’EDPs I 

7.1 Théorèmes d’existence .

7.1.1 Définitions et premières propriétés .

7.1.2 Existence de solutions.

7.2 Théorème de régularité .

7.3 Exemples de solutions élémentaires.

7.3.1 Problème du laplacien.

7.3.2 L’équation des ondes en dimension 1 

II Notions avancées 

8 Support d’une distribution 

8.1 Partitions de l’unité.

8.2 Restriction à un ouvert.

8.3 Support d’une distribution .

8.4 Distributions à support compact.

8.5 Distributions à support ponctuel.

9 Convolution des distributions II 

9.1 Dérivation et intégration sous le crochet .

9.2 Produit tensoriel de deux distributions .

9.3 Produit de convolution de deux distributions.

9.3.1 Définition.

9.3.2 Propriétés de base.

9.3.3 Convolution et support.

9.3.4 Convolution et translations .

9.3.5 Comment calculer un produit de convolution.

9.3.6 Généralisation aux paires convolutives.

9.4 Applications du produit tensoriel et de la convolution .

9.4.1 Théorème de densité.

9.4.2 Structure locale des distributions.

9.4.3 Le théorème du noyau de Schwartz .

10 Solutions élémentaires d’EDPs II 

10.1 Théorèmes d’existence .

10.1.1 Définition et premières propriétés.

10.1.2 Existence de solutions.

10.2 Théorème de régularité.

10.3 Exemples de solutions élémentaires.

10.3.1 Equation de la chaleur et modèle de Black-Scholes-Merton .

10.3.2 Opérateur

10.4 Support singulier d’une distribution.

11 Formule des sauts 

11.1 Formule des sauts en dimension 1 .

11.2 Formule des sauts pour un demi-espace .

11.3 Ouverts réguliers dans R d.

11.3.1 Définition.

11.3.2 Vecteur normal unitaire sortant .

11.3.3 Mesure de surface, exemples.

11.4 Formule de Stokes .

11.4.1 Formule de Stokes .

11.4.2 Intégration par parties multidimensionnelle

11.4.3 Formule de Green pour le laplacien .

11.4.4 Formule des sauts multidimensionnelle .

11.5 Applications.

11.5.1 Les relations de Rankine-Hugoniot .

11.5.2 Equation des ondes en dimension 3

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